平面の方程式の問題　別解２

■問題

空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

■ヒント

3点を含む平面上の点を$\text{P}$ ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ とすると， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AB}}}$ と ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AC}}}$ を用いて ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{AP}}}$ を表すと

${\displaystyle m\stackrel{⟶}{\text{AB}}+n\stackrel{⟶}{\text{AC}}=\stackrel{⟶}{\text{AP}}}$

となる． m ， n は媒介変数．

■解説

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,3,1\right)-\left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-1,2,-1\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{\text{OC}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(1,-1,2\right)-\left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-1,-2,0\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OA}}}$ ${\displaystyle =\left(x,y,z\right)-\left(2,1,2\right)}$ ${\displaystyle =\left(x-2,y-1,z-2\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\text{AP}}=m\overrightarrow{\text{AB}}+n\overrightarrow{\text{AC}}}$

${\displaystyle \left(x-2,y-1,z-2\right)}$${\displaystyle =m\left(-1,2,-1\right)+n\left(-1,-2,0\right)}$

${\displaystyle \left(x-2,y-1,z-2\right)}$${\displaystyle =\left(-m-n,2m-2n,-m\right)}$

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x-2=-m-n\cdots \cdots \text{(1)}\\ y-1=2m-2n\cdots \cdots \text{(2)}\\ z-2=-m\cdots \cdots \text{(3)}\end{array}\right.}$

(1)×２−(2)より

${\displaystyle 2\left(x-2\right)-\left(y-1\right)=-4m}$　･･････(4)

(4)−(3)より

${\displaystyle 2\left(x-2\right)-\left(y-1\right)-4\left(z-2\right)=0}$

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日