直線の方程式に関する問題

■問題

空間座標上の点 $A (1, 2, 1)$ $A (1, 2, 1)$ を通り，ベクトル $(2, 1, 1)$ $(2, 1, 1)$ に平行な直線の方程式を求めよ．

■答

$\frac{x - 1}{2} = y - 2 = z - 1$ $\frac{x - 1}{2} = y - 2 = z - 1$

■ヒント

点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ を通り，方向ベクトル $\to d = (l, m, n)$ $\vec{d} = (l, m, n)$ に平行な直線の方程式

$\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$ $\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$

を用いる．

■解説

点Pの座標は $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (1, 2, 1)$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (1, 2, 1)$ ，方向ベクトル $\to d = (l, m, n) = (2, 1, 1)$ $\vec{d} = (l, m, n) = (2, 1, 1)$ より，これらの値を直線の方程式

$\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$ $\frac{x - x_{0}}{l} = \frac{y - y_{0}}{m} = \frac{z - z_{0}}{n}$

に代入すると

$\frac{x - 1}{2} = y - 2 = z - 1$ $\frac{x - 1}{2} = y - 2 = z - 1$

となる．これが，求める直線の方程式である．

●補足●

媒介変数 $t$ $t$ を用いた直線の方程式は

$x = x_{0} + t l$ $x = x_{0} + t l$ ， $y = y_{0} + t m$ $y = y_{0} + t m$ ， $z = z_{0} + t n$ $z = z_{0} + t n$ 　　　　（媒介変数 $t$ $t$ を用いた直線の方程式)

と表わされる．すなわち，この問題の場合

$(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 1, 1)$ $(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 1, 1)$

となり

$\begin{array}{l} x = 2 t + 1 \\ y = t + 2 \\ z = t + 1 \end{array}$

となる．さらに

$\begin{array}{l} t = z - 1 \\ t = y - 2 \\ t = \frac{x - 1}{2} \end{array}$

と式を変形し， $t$ 消去すると，直線方程式

$\frac{x - 1}{2} = y - 2 = z - 1$

が得られる．

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最終更新日： 2025年1月15日