直線の方程式に関する問題

■問題

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(2,3,1\right)}$ を通り，${\displaystyle \left(3,2,2\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0,z_0\right)}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m,n\right)}$ に平行な直線の方程式

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

を用いる．

■解説

点Pの座標は${\displaystyle \left(2,3,1\right)}$ ，${\displaystyle \overrightarrow{d}=(l,m,n)=(3,2,2)}$ より

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

に代入すると

${\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

となる．これが求める直線の方程式である． 

●補足●

媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式は

${\displaystyle x=x_0+tl}$ ， ${\displaystyle y=y_0+tm}$ ， ${\displaystyle z=z_0+tn}$ 　（媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式)

で表される． よって

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(2,3,1\right)+t\left(3,2,2\right)}$

${\displaystyle \begin{array}{l}x=3t+2\\ y=2t+3\\ z=2t+1\end{array}}$

となる．各成分を$t$について解くと

${\displaystyle \begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{x-2}{3}}\\ t={\displaystyle \frac{y-3}{2}}\\ t={\displaystyle \frac{z-1}{2}}\end{array}}$

となり，$t$は共通なので

${\displaystyle t=\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

すなわち，

${\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{2}}$

となり，媒介変数を用いない場合の直線の方程式が得られる．

　

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最終更新日： 2025年1月15日