直線の方程式に関する問題

■問題

空間座標上の点${\displaystyle \text{A}\left(1,1,1\right)}$ を通り，${\displaystyle \left(1,-2,3\right)}$ に平行な直線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle x-1=-\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{P}\left(x_0,y_0,z_0\right)}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m,n\right)}$ に平行な直線の方程式

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

を用いる．

■解説

点Pの座標は ${\displaystyle \left(1,1,1\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{d}=\left(l,m,n\right)=\left(1,-2,3\right)}$ より

${\displaystyle \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}$

に代入すると

${\displaystyle x-1=-\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}}$

となる．これが求める直線の方程式である．

●補足●

媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式は

${\displaystyle x=x_0+tl}$ ， ${\displaystyle y=y_0+tm}$ ， ${\displaystyle z=z_0+tn}$　　　　 （媒介変数 ${\displaystyle t}$ を用いた直線の方程式)

と示すことができる．

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)+t\left(1,-2,3\right)}$

${\displaystyle \begin{array}{l}x=t+1\\ y=-2t+1\\ z=3t+1\end{array}}$

${\displaystyle \begin{array}{l}t=x-1\\ t=-{\displaystyle \frac{y-1}{2}}\\ t={\displaystyle \frac{z-1}{3}}\end{array}}$

上式の連立方程式を解くと

${\displaystyle x-1=-\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}}$ 

となる． 

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月14日