平面の方程式の問題

■問題

2つの平面 ${\displaystyle x+y+z=6,x-y+5z=4}$ が交わる直線の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

■解説

交線上の点${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ は両方の平面の点であるから  

${\displaystyle x+y+z=6}$　･･････(1)

${\displaystyle x-y+5z=4}$　･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)より

${\displaystyle 2x+6z=10}$，${\displaystyle 2x=10-6z}$，${\displaystyle x=-3z+5}$

(1)-(2)より

${\displaystyle 2y-4z=2}$，${\displaystyle 2y=4z+2}$，${\displaystyle y=2z+1}$

となる．ここで${\displaystyle z=t}$ とおくことで 

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(-3t+5,2t+1,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(5,1,0\right)+t\left(-3,2,1\right)}$  

よって求める直線の方程式は 

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

　

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月14日