平面の方程式の問題

■問題

2つの平面 $x + y + z = 6$ $x + y + z = 6$ ， $x - y + 5 z = 4$ $x - y + 5 z = 4$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

$\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$ $\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$

交線上の点 $(x, y, z)$ $(x, y, z)$ は両方の平面上の点であるから

$x + y + z = 6$ $x + y + z = 6$ ･･････(1)

$x - y + 5 z = 4$ $x - y + 5 z = 4$ ･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)より

$2 x + 6 z = 10$ $2 x + 6 z = 10$ ， $2 x = 10 - 6 z$ $2 x = 10 - 6 z$ ， $x = - 3 z + 5$ $x = - 3 z + 5$

(1)-(2)より

$2 y - 4 z = 2$ $2 y - 4 z = 2$ ， $2 y = 4 z + 2$ $2 y = 4 z + 2$ ， $y = 2 z + 1$ $y = 2 z + 1$

となる．ここで $z = t$ $z = t$ とおくことで

$(x, y, z) = (- 3 t + 5, 2 t + 1, t)$ $(x, y, z) = (- 3 t + 5, 2 t + 1, t)$ $= (5, 1, 0) + t (- 3, 2, 1)$ $= (5, 1, 0) + t (- 3, 2, 1)$

よって求める直線の方程式は

$\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$ $\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$

青色の平面： $x + y + z = 6$ $x + y + z = 6$

赤色の平面： $x - y + 5 z = 4$ $x - y + 5 z = 4$

黒色の直線(2つの平面の交線： $\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$ $\frac{x - 5}{- 3} = \frac{y - 1}{2} = z$

0,0

az = 1.00

el = 0.30

bank = 0.00

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学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日