平面の方程式の問題

■問題

2つの平面 ${\displaystyle x+y+z=6}$ ， ${\displaystyle x-y+5z=4}$ が交わることによって生じる直線(交線)の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

■解説

交線上の点 ${\displaystyle \left(x,y,z\right)}$ は両方の平面上の点であるから  

${\displaystyle x+y+z=6}$ ･･････(1)

${\displaystyle x-y+5z=4}$ ･･････(2)

を同時にみたしている．

(1)+(2)より

${\displaystyle 2x+6z=10}$ ， ${\displaystyle 2x=10-6z}$ ， ${\displaystyle x=-3z+5}$

(1)-(2)より

${\displaystyle 2y-4z=2}$ ， ${\displaystyle 2y=4z+2}$ ， ${\displaystyle y=2z+1}$

となる．ここで ${\displaystyle z=t}$ とおくことで 

${\displaystyle \left(x,y,z\right)=\left(-3t+5,2t+1,t\right)}$ ${\displaystyle =\left(5,1,0\right)+t\left(-3,2,1\right)}$  

よって求める直線の方程式は 

${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

■3Dグラフ

青色の平面： ${\displaystyle x+y+z=6}$

赤色の平面： ${\displaystyle x-y+5z=4}$

黒色の直線(2つの平面の交線： ${\displaystyle \frac{x-5}{-3}=\frac{y-1}{2}=z}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>平面と直線の方程式に関する問題>>平面の方程式の問題

学生スタッフ
最終更新日： 2025年1月15日