重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} 2 x cos y d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}, \frac{π}{6} ≦ y ≦ \frac{π}{2})$

$\frac{π^{2}}{8}$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

$x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

$\iint_{D} 2 x cos y d x d y$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ 積分範囲を決定する．

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 2 x cos y d y} d x$

まず， $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 2 x \cos y d y$ の計算をする． $x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[2 x sin y]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 x sin \frac{π}{2} - 2 x sin \frac{π}{6}) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 x \cdot 1 - 2 x \cdot \frac{1}{2}) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 x - x) d x$

$= \int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x$

積分結果を更に $x$ で積分する．

$= {[\frac{1}{2} x^{2}]}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$= \frac{1}{2} \cdot {(\frac{π}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

$= \frac{π^{2}}{8} - 0$

$= \frac{π^{2}}{8}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月2日