重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} (x + y) d x d y$ 　　 $(D : \frac{x}{3} + y ≦ 2, x ≧ 0, y ≧ 0)$

$16$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

領域 $D$ より

$\frac{x}{3} + y$ $≦ 2$

$y$ $≦ - \frac{x}{3} + 2$

$y ≧ 0$ を考慮すると

$0 ≦ y ≦ - \frac{x}{3} + 2$

これを満たす $x$ の条件は

− x 3 +2 $≧ 0$

$- \frac{x}{3}$ $≧ - 2$

$x$ $≦ 6$

$x ≧ 0$ を考慮すると

$0 ≦ x ≦ 6$

以上から領域 $D$ は

$D : 0 ≦ x ≦ 6, 0 ≦ y ≦ - \frac{x}{3} + 2$

となるので

$\iint_{D} (x + y) d x d y$

$= \int_{0}^{6} (\int_{0}^{- \frac{x}{3} + 2} (x + y) d y) d x$

$x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{0}^{6} {[x y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{0}^{- \frac{x}{3} + 2} d x$

$= \int_{0}^{6} {x \cdot (- \frac{x}{3} + 2) + \frac{1}{2} {(- \frac{x}{3} + 2)}^{2} - (x \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0)} d x$

$= \int_{0}^{6} {- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + \frac{1}{2} (\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) - 0} d x$

$= \int_{0}^{6} {- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + \frac{1}{18} x^{2} - \frac{2}{3} x + 2} d x$

$= \int_{0}^{6} {(\frac{- 6 + 1}{18}) x^{2} + (\frac{6 - 2}{3}) x + 2} d x$

$= \int_{0}^{6} {- \frac{5}{18} x^{2} + \frac{4}{3} x + 2} d x$

更に $x$ で積分する．

$= {[- \frac{5}{54} x^{3} + \frac{2}{3} x^{2} + 2 x]}_{0}^{6}$

$= - \frac{5}{54} \cdot 6^{3} + \frac{2}{3} \cdot 6^{2} + 2 \cdot 6 - (\frac{5}{54} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0)$

$= - 5 \cdot \frac{216}{54} + 2 \cdot \frac{36}{3} + 12 - 0$

$= - 5 \cdot 4 + 2 \cdot 12 + 12$

$= - 20 + 24 + 12$

$= 16$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日