重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} x y d x d y$ 　　 $(D : 2 x + \frac{y}{2} ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0)$

$\frac{1}{24}$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

領域 $D$ より

$2 x + \frac{y}{2}$ $≦ 1$

$\frac{y}{2}$ $≦ - 2 x + 1$

$y$ $≦ - 4 x + 2$

$y ≧ 0$ を考慮すると

$0 ≦ y ≦ - 4 x + 2$

これを満たす $x$ の条件は

$- 4 x + 2$ $≧ 0$

$- 4 x$ $≧ - 2$

$x$ $≦ \frac{1}{2}$

$x ≧ 0$ を考慮すると

$0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}$

以上から領域 $D$ は

$D : 0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}, 0 ≦ y ≦ - 4 x + 2$

と書き換えられる．よって

$\iint_{D} x y d x d y$

$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} (\int_{0}^{- 4 x + 2} x y d y) d x$

まず， $\int_{0}^{- 4 x + 2} x y d y$ を計算する． $x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} {[\frac{1}{2} x y^{2}]}_{0}^{- 4 x + 2} d x$

$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} {\frac{1}{2} x {(- 4 x + 2)}^{2} - \frac{1}{2} x \cdot 0^{2}} d x$

$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} {\frac{1}{2} x (16 x^{2} - 16 x + 4) - 0} d x$

$= \int_{0}^{\frac{1}{2}} (8 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x) d x$

積分結果を更に $x$ で積分する．

$= {[2 x^{4} - \frac{8}{3} x^{3} + x^{2}]}_{0}^{\frac{1}{2}}$

$= 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{8}{3} \cdot {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{2}$ $- (2 \cdot 0^{4} + \frac{8}{3} \cdot 0^{3} + 0^{2})$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - 0$

$= \frac{3 - 8 + 6}{24}$

$= \frac{1}{24}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日