問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$　　${\displaystyle \left(D:x+y\leqq 2,x\geqq 0,y\geqq 0\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{8}{3}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ より

${\displaystyle x+y}$${\displaystyle \leqq 2}$

${\displaystyle y}$${\displaystyle \leqq -x+2}$

${\displaystyle y\geqq 0}$${\displaystyle 0\leqq y\leqq -x+2}$

を考慮すると

これを満たす ${\displaystyle x}$ の条件は

${\displaystyle -x+2}$${\displaystyle \geqq 0}$

${\displaystyle -x}$${\displaystyle \geqq -2}$

${\displaystyle x}$${\displaystyle \leqq 2}$

${\displaystyle x\geqq 0}$ を考慮すると

${\displaystyle 0\leqq x\leqq 2}$

以上から領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle D:0\leqq x\leqq 2,0\leqq y\leqq -x+2}$

と書き換えられる．よって

${\displaystyle \underset{D}{\iint }\left(x^2+y^2\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left({\int }_0^{-x+2}\left(x^2+y^2\right)dy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{-x+2}\left(x^2+y^2\right)dy}$ を計算する．${\displaystyle x}$ を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[x^{2}y+\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^{-x+2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-\frac{4}{3}{x}^3+4x^2-4x+\frac{8}{3}\right)dx}$

更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{3}{x}^4+\frac{4}{3}{x}^3-2x^2+\frac{8}{3}x\right]}_0^2}$

${\displaystyle =-\frac{1}{3}·2^4+\frac{4}{3}·2^3-2·2^2+\frac{8}{3}·2}$${\displaystyle -\left(-\frac{1}{3}·0^4+\frac{4}{3}·0^3-2·0^2+\frac{8}{3}·0\right)}$

${\displaystyle =-\frac{16}{3}+\frac{32}{3}-8+\frac{16}{3}-0}$

${\displaystyle =\frac{-16+32-24+16}{3}}$

${\displaystyle =\frac{8}{3}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日

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