問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xdxdy}$　　${\displaystyle \left(D:0\leqq y\leqq 3x-x^2\right)}$

■答

${\displaystyle \frac{27}{4}}$

■ヒント

はじめに領域 ${\displaystyle D}$を作図し， ${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

領域 ${\displaystyle D}$ は

${\displaystyle 0\leqq y\leqq 3x-x^2}$

であることより

直線  ${\displaystyle y=0}$　･･････(1)

曲線  ${\displaystyle y=3x-x^2}$　･･････(2)

で囲まれた領域である．(2)を平方完成すると

${\displaystyle y=-x^2+3x}$

${\displaystyle =-\left(x^2-3x\right)}$

${\displaystyle =-\left\{x^2-3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right\}}$

${\displaystyle =-\left\{x^2-3x+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right\}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}$

${\displaystyle =-{\left(x^2-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{9}{4}}$

となり，頂点が ${\displaystyle \left(\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right)}$ の上に凸のグラフとなることが分かる．

${\displaystyle 3x-x^2=0}$

${\displaystyle x\left(3-x\right)=0}$

${\displaystyle x=0,3}$

(1)と(2)の交点は ${\displaystyle \left(0,0\right),\left(3,0\right)}$ の2点となる．領域 ${\displaystyle D}$ を作図すると右図のようになる．

これより積分範囲を決定すると

${\displaystyle \underset{D}{\iint }xdxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^3\left({\int }_0^{3x-x^2}xdy\right)dx}$

まず，${\displaystyle {{\displaystyle \int }}_0^{3x-x^2}xdy}$ を計算する．${\displaystyle x}$を定数とみなして${\displaystyle y}$について積分する． 

${\displaystyle ={\int }_0^3{\left[xy\right]}_0^{3x-x^2}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^3\left\{x·\left(3x-x^2\right)-x·0\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^3\left(3x^2-x^3\right)dx}$

更に ${\displaystyle x}$ で積分する． 

${\displaystyle ={\left[x^3-\frac{1}{4}{x}^4\right]}_0^3}$

${\displaystyle =3^3-\frac{1}{4}·3^4-\left(0^3-\frac{1}{4}·0^4\right)}$

${\displaystyle =27-\frac{81}{4}}$

${\displaystyle =\frac{108-81}{4}}$

${\displaystyle =\frac{27}{4}}$

　

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日

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