重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} (x + 2) d x d y$ 　　 $(D : - 1 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x^{2} + 1)$

$\frac{16}{3}$

領域 $D$ より変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

領域 $D$ より

$\iint_{D} (x + 2) d x d y$

$= \int_{- 1}^{1} (\int_{0}^{x^{2} + 1} (x + 2) d y) d x$

まず， $\int_{0}^{x^{2} + 1} (x + 2) d y$ を計算する． $x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{- 1}^{1} {[x y + 2 y]}_{0}^{x^{2} + 1} d x$

$= \int_{- 1}^{1} {x \cdot (x^{2} + 1) + 2 (x^{2} + 1) - (x \cdot 0 + 2 \cdot 0)} d x$

$= \int_{- 1}^{1} (x^{3} + x + 2 x^{2} + 2 - 0) d x$

$= \int_{- 1}^{1} (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) d x$

更に $x$ で積分する．

$= {[\frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x]}_{- 1}^{1}$

$= \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + \frac{2}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1$

$- {\frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)}$

$= \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 2 - (\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2)$

$= \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2$

$= \frac{4}{3} + 4$

$= \frac{4 + 12}{3}$

$= \frac{16}{3}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日