重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} (2 x + y) d x d y$ 　　 $(D : x^{2} ≦ y ≦ x + 2)$

$\frac{117}{10}$

はじめに領域 $D$ を作図し， $x$ ， $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

領域 $D$ は

$x^{2} ≦ y ≦ x + 2$

であることより

曲線 $y = x^{2}$ 　･･････(1)

直線 $y = x + 2$ 　･･････(2)

で囲まれた領域である．(1)，(2)のの交点を求めると

$x^{2} = x + 2$

$x^{2} - x - 2 = 0$

$(x + 1) (x - 2) = 0$

$x = - 1, 2$

q3-4

$y = x + 2$ にそれぞれ代入することにより，交点は $(- 1, 1), (2, 4)$ の2点となる．

領域 $D$ を作図すると右図のようにな．

これより積分範囲を決定すると

$\iint_{D} (2 x + y) d x d y$

$= \int_{- 1}^{2} (\int_{x^{2}}^{x + 2} (2 x + y) d y) d x$

まず， $\int_{x^{2}}^{x + 2} (2 x + y) d y$ を計算する． $x$ を定数とみなして $y$ について積分する．

$= \int_{- 1}^{2} {[2 x y + \frac{1}{2} y^{2}]}_{x^{2}}^{x + 2} d x$

$= \int_{- 1}^{2} [2 x (x + 2) + \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - {2 x \cdot x^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2})}^{2}}] d x$

$= \int_{- 1}^{2} {2 x^{2} + 4 x + \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + 4) - (2 x^{3} + \frac{1}{2} x^{4})} d x$

更に $x$ で積分する．

$= \int_{- 1}^{2} (2 x^{2} + 4 x + \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 - 2 x^{3} - \frac{1}{2} x^{4}) d x$

$= \int_{- 1}^{2} (- \frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + \frac{4 + 1}{2} x^{2} + 6 x + 2) d x$

$= \int_{- 1}^{2} (- \frac{1}{2} x^{4} - 2 x^{3} + \frac{5}{2} x^{2} + 6 x + 2) d x$

$= {[- \frac{1}{10} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + \frac{5}{6} x^{3} + 3 x^{2} + 2 x]}_{- 1}^{2}$

$= - \frac{1}{10} \cdot 2^{5} - \frac{1}{2} \cdot 2^{4} + \frac{5}{6} \cdot 2^{3} + 3 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

$- {- \frac{1}{10} \cdot {(- 1)}^{5} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} + \frac{5}{6} \cdot {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)}$

$= - \frac{16}{5} - 8 + \frac{20}{3} + 12 + 4 - (\frac{1}{10} - \frac{1}{2} - \frac{5}{6} + 3 - 2)$

$= - \frac{16}{5} + \frac{20}{3} + 8 - \frac{1}{10} + \frac{1}{2} + \frac{5}{6} - 1$

$= \frac{- 96 + 200 + 240 - 3 + 15 + 25 - 30}{30}$

$= \frac{351}{30}$

$= \frac{117}{10}$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年8月3日