問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^2{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dxdy}$

■答

${\displaystyle \frac{4}{3}}$

■ヒント

まず

${\displaystyle {\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dx}$

を計算する．${\displaystyle y}$ を定数と考えて ${\displaystyle x}$ について積分し，その結果を${\displaystyle y}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle {\int }_0^2{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left\{{\int }_{\frac{y}{2}}^1\left(x+y\right)dx\right\}dy}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^2{\left[\frac{1}{2}{x}^2+xy\right]}_{\frac{y}{2}}^{1}dy}$

${\displaystyle ={\int }_0^2\left(-\frac{5}{8}{y}^2+y+\frac{1}{2}\right)dy}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{5}{24}{y}^3+\frac{1}{2}{y}^2+\frac{1}{2}y\right]}_0^2}$

${\displaystyle =\left\{\left(-\frac{5}{3}+2+1\right)-0\right\}}$

${\displaystyle =\frac{4}{3}}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日

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