重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y d x$ $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y d x$

$- \frac{1}{4}$ $- \frac{1}{4}$

$x$ $x$ を定数として $y$ $y$ について積分し，その結果を $x$ $x$ で積分していく．

$\int_{0}^{1} \{\int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y\} dx$ $\int_{0}^{1} \{\int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y\} dx$

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y d x$ $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y d x$

$= \int_{0}^{1} \{\int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y\} dx$ $= \int_{0}^{1} \{\int_{0}^{1 - x} (x^{2} - 2 y) d y\} dx$

$= \int_{0}^{1} {[y x^{2} - y^{2}]}_{0}^{1 - x} d x$ $= \int_{0}^{1} {[y x^{2} - y^{2}]}_{0}^{1 - x} d x$

$= \int_{0}^{1} {x^{2} (1 - x) - {(1 - x)}^{2}} d x$ $= \int_{0}^{1} {x^{2} (1 - x) - {(1 - x)}^{2}} d x$

$= \int_{0}^{1} (- x^{3} + 2 x - 1) d x$ $= \int_{0}^{1} (- x^{3} + 2 x - 1) d x$

$= {[- \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} - x]}_{0}^{1}$ $= {[- \frac{1}{4} x^{4} + x^{2} - x]}_{0}^{1}$

$= - \frac{1}{4}$ $= - \frac{1}{4}$

最終更新日： 2023年8月4日