問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dydx}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{4}}$

■ヒント

${\displaystyle x}$ を定数として${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を${\displaystyle x}$ で積分していく．

${\displaystyle {\int }_0^1\left\{{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dy\right\}\mathrm{dx}}$

■解説

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dydx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{1-x}\left(x^2-2y\right)dy\right\}\mathrm{dx}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1{\left[y{x}^2-y^2\right]}_0^{1-x}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{x^2\left(1-x\right)-{\left(1-x\right)}^2\right\}dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left(-x^3+2x-1\right)dx}$

${\displaystyle ={\left[-\frac{1}{4}{x}^4+x^2-x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\frac{1}{4}}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日

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