問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dxdy}$

■答

${\displaystyle 0}$

■ヒント

まず，次式を ${\displaystyle y}$ を定数と考え ${\displaystyle x}$ について積分する．

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dx}$

その結果を${\displaystyle y}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{{\int }_0^{\pi }sin\left(x+y\right)dx\right\}dy}$  

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{\left[-cos\left(x+y\right)\right]}_0^{\pi }dy}$

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }\left\{-cos\left(\pi +y\right)+cosy\right\}dy}$

${\displaystyle -\cos \left(\pi +y\right)=-\left(-\cos y\right)=\cos y}$ より(ここを参照)

${\displaystyle ={\int }_0^{\pi }2cosydy}$

${\displaystyle ={\left[2siny\right]}_0^{\pi }}$

${\displaystyle =0}$

　

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最終更新日： 2023年8月4日

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