問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ．

 ${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+xy\right)dxdy}}$　　${\displaystyle (D:0\leqq y\leqq 1,0\leqq x\leqq \sqrt{y})}$  

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}}$

■ヒント

積分領域 ${\displaystyle D}$ から積分範囲を決定する． ${\displaystyle x}$ について積分した後， ${\displaystyle y}$ で積分する場合，

${\displaystyle x}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to \sqrt{y}}$

${\displaystyle y}$ の積分範囲： ${\displaystyle 0\to 1}$

となる．

■解説

${\displaystyle {\iint }_D\left(x^3+xy\right)dxdy}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\left\{{\int }_0^{\sqrt{y}}\left(x^3+xy\right)dx\right\}dy}$  

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dy{\int }_0^{\sqrt{y}}\left(x^3+xy\right)dx}$ 

${\displaystyle ={\int }_0^{1}dy{\left[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^{2}y\right]}_0^{\sqrt{y}}}$

${\displaystyle ={\int }_0^1\frac{3}{4}{y}^{2}dy}$

${\displaystyle =\frac{3}{4}{\left[\frac{1}{3}{y}^3\right]}_0^1}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}}$

 

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最終更新日： 2023年8月4日

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