問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_{D}x\sin xydxdy}}$    ${\displaystyle \left(D:0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \frac{\pi }{2}\right)}$

■答

${\displaystyle 1-\frac{2}{\pi }}$

■ヒント

領域${\displaystyle D}$ から変数${\displaystyle x}$ と変数${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解き方

${\displaystyle {\iint }_{D}x\sin xydxdy}$

${\displaystyle =\underset{0}{\overset{1}{{\displaystyle \int }}}\left({{\displaystyle \int }}_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xydy\right)dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1{\left[-\cos xy\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}}dx}$

${\displaystyle =-{{\displaystyle {\int }_0^1\left[\cos xy\right]}}_0^{\frac{\pi }{2}}dx}$

${\displaystyle =-{\displaystyle {\int }_0^1\left(\cos \frac{\pi }{2}x-1\right)dx}}$

${\displaystyle =-{\left[\frac{2}{\pi }\sin \frac{\pi }{2}x-x\right]}_0^1}$

${\displaystyle =-\left\{\left(\frac{2}{\pi }-1\right)-0\right\}}$

${\displaystyle =1-\frac{2}{\pi }}$

　

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最終更新日： 2023年8月22日

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