重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} e^{x} \cos y d x d y$ $(D : 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ \frac{π}{4})$

$\frac{1}{\sqrt{2}} (e - 1)$

領域 $D$ から変数 $x$ と変数 $y$ の積分範囲を決定する．

次に， $x$ を定数とみなして $y$ について積分し，その結果を更に $x$ で積分する．

$\iint_{D} e^{x} \cos y d x d y$

$= \int_{0}^{1} e^{x} d x \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos y d y$

$= \int_{0}^{1} e^{x} {[\sin y]}_{0}^{\frac{π}{4}} d x$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} e^{x} d x$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} {[e^{x}]}_{0}^{1}$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} (e - 1)$

最終更新日： 2023年8月4日