問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

重積分の基礎

■問題

次の重積分を計算せよ．

${\displaystyle {\displaystyle {\iint }_D\left(2x-y\right)dx}dy}$　　${\displaystyle D:0\leqq x\leqq 1,x\leqq y\leqq \sqrt{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{20}}$

■ヒント

領域 ${\displaystyle D}$ より変数 ${\displaystyle x}$ と変数 ${\displaystyle y}$ の積分範囲を決定する．

次に， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ について積分し，その結果を更に ${\displaystyle x}$ で積分する．

■解説

${\displaystyle D}$ の範囲より

(与式)${\displaystyle ={{\displaystyle \int }}_0^1\left({{\displaystyle \int }}_x^{\sqrt{x}}\left(2x-y\right)dy\right)dx}$

${\displaystyle ={{\displaystyle {\int }_0^1\left[2xy-\frac{1}{2}{y}^2\right]}}_x^{\sqrt{x}}dx}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_0^1\left(-\frac{3}{2}{x}^2+2x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}x\right)}dx}$

${\displaystyle =\frac{1}{20}}$

　

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最終更新日： 2023年8月22日

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