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積分の順序を変更して次の重積分を求めよ.
∫2a0(∫6a−xx2aydy)dx
33215a3
与式ではy で積分してからx で積分する.この積分をx で積分してから y で積分するように変更する.
積分順序を変更すると,x で積分するとき,y の値によって積分上限の関数が異なることになるので,以下のようにD1 と D2 の2つの領域に分けて積分の計算をする.
D1:0≦x≦√ay,0≦y≦4a
D2:0≦x≦6a−y,4a≦y≦6a
となるから
(与式)=∫4a0(∫√ay0ydx)dy+∫6a4a(∫6a−y0ydx)dy
=∫4a0y√aydy+∫6a4a(6a−y)·ydy
=√a∫4a0y32dy+∫6a4a(6ay−y2)dy
=25√a[y52]4a0+[3ay2−13y3]6a4a
=645a3+(36a3−803a3)
=645a3+283a3
=33215a3
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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年8月22日