不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$ 　　

■解説動画

◇積分の動画一覧のページへ

■答

$3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分の「その他」よりこの

$3$\displaystyle{\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}\sqrt{ {a}^{2}- {x}^{2} }\hspace{2}}dx ={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}+ C}}$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

の公式を用いる．

■解説

$3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$ 　･･････(1) 　

この問題では，公式の「 $3$\displaystyle{ {a}^{2} }$ 」は「 $3$\displaystyle{ 9={3}^{2} }$ 」である．したがって

$3$\displaystyle{ =\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{2}- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$ $3$\displaystyle{ ={ \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+C }$ 　　（ $3$C$ は積分定数）

●別解1

$3$\displaystyle{ 9- {x}^{2}> 0 }$ より，これを因数分解すると

$3$\displaystyle{ $ 3- x $ $ 3+x $ > 0& \vspace{6}\\ & \vspace{6}\\ }$

$3$\displaystyle{ $ x- 3 $ $ x+3 $ < 0& \vspace{6}\\ }$

$3$\displaystyle{- 3< x< 3}$

となる．よって

$3$\displaystyle{x=3\sin {\theta}\text{\hspace{5}} $ - \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} $ }$ 　･･････(2)

とおき，置換積分をする． $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=3\cos {\theta}}$ より

$3$\displaystyle{dx=3\cos {\theta}d{\theta}}$ 　･･････(3)

となる．

(1)に(2)，(3)をそれぞれ代入し，置換積分すると

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{={\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{2} $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ } \hspace{2}}d{\theta}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{2} $ 1- { \sin }^{2}{\theta} $ } \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ 1- { \sin }^{2}{\theta} } \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\theta}+{ \cos }^{2}{\theta}=1 }$ → $3$\displaystyle{1- {\sin }^{2}{\theta}={\cos }^{2}{\theta}}$ より

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} } \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}< {\theta}< \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ → $3$\displaystyle{\cos {\theta}> 0}$ → $3$\displaystyle{\sqrt{ { \cos }^{2}{\theta} }=\cos {\theta}}$ より

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\cos {\theta} \hspace{2}}d{\theta} }$

$3$=\displaystyle{ \int d{\theta} }$

$3$\displaystyle{ ={\theta}+C }$ 　･･････(4)

ここで，(2)を $3$\displaystyle{{\theta}=}$ の形に式を変形すると，（アークサイン参照）

$3$\displaystyle{x=3\sin {\theta}\rightarrow {\theta}={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(5)

となる．(5)を(4)に代入すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx= {\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+C}$ 　･･････(6)

となる．

●別解2

今回は

$3$\displaystyle{x=3\cos {\phi}\text{\hspace{5}} $ 0< {\theta}< {\pi} $ }$ 　･･････(7)

とおき，置換積分をする． $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2} dx \hspace{2}}{\hspace{2} d{\theta} \hspace{2}}=- 3\cos {\phi}{\theta}}$ より

$3$\displaystyle{dx=- 3\cos {\phi}d{\phi}}$ 　･･････(8)

となる．

(1)に(7)，(8)をそれぞれ代入し，置換積分すると

$3$\displaystyle{{\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。
$3$\displaystyle{={\displaystyle{\int }}^{\text{}}\frac{\hspace{2} - 3\sin {\phi} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{2} $ 1- { \cos }^{2}{\phi} $ } \hspace{2}}d{\phi}}$
TeXに変換設定していない数学記号や，特殊文字が含まれています。今後直していきます。

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} - 3\sin {\phi} \hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ {3}^{2} $ 1- { \cos }^{2}{\phi} $ } \hspace{2}}d{\phi} }$

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} - 3\sin {\phi} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ 1- { \cos }^{2}{\phi} } \hspace{2}}d{\phi} }$

$3$\displaystyle{ { \sin }^{2}{\phi}+{ \cos }^{2}{\phi}=1 }$ → $3$\displaystyle{1- {\cos }^{2}{\phi}={\sin }^{2}{\phi}}$ より

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} - 3\sin {\phi} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sqrt{ { \sin }^{2}{\phi} } \hspace{2}}d{\phi} }$

$3$\displaystyle{ 0< {\phi}< {\pi} }$ → $3$\displaystyle{\sin {\phi}> 0}$ → $3$\displaystyle{\sqrt{ { \sin }^{2}{\phi} }=\sin {\phi}}$ より

$3$=\displaystyle{ \int \frac{\hspace{2} - 3\sin {\phi} \hspace{2}}{\hspace{2} 3\sin {\phi} \hspace{2}}d{\phi} }$

$3$=\displaystyle{ - \int d{\phi} }$

$3$\displaystyle{ =- {\phi}+C }$ 　･･････(9)

ここで，(7)を $3$\displaystyle{{\phi}=}$ の形に式を変形すると，（アークコサイン参照）

$3$\displaystyle{x=3\cos {\phi}\rightarrow {\phi}={\cos }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ 　･･････(10)

となる．(10)を(9)に代入すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx =- {\cos }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+C}$ 　･･････(11)

となる．

(9)の $3${\phi}$ を(2)の $3${\theta}$ に変換する．

下の図は， $3$x$ と $3${\phi}$ ， $3${\theta}$ の関係を示す図である．

$3$\displaystyle{x:- 3\rightarrow 3}$ のとき， $3$\displaystyle{{\theta}:- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\rightarrow \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ ， $3$\displaystyle{{\phi}:{\pi}\rightarrow - {\pi}}$ であることより，図では角度 $3${\theta}$ の正方向は時計回り，角度 $3${\phi}$ の正方向は反時計回りとなる．よって， $3${\phi}$ と $3${\theta}$ の関係は

$3$\displaystyle{{\theta}+{\phi}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ 　→　 $3$\displaystyle{{\phi}=\frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta}}$ 　･･････(12)

となる．(9)に(12)を代入すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$ $3$\displaystyle{=- \left({ \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}- {\theta} }\right)+C}$ $3$\displaystyle{={\theta}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+C}$ 　･･････(13)

(13)に(5)を代入すると

$3$\displaystyle{\int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx}$ $3$\displaystyle{={\sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+C}$ 　･･････(14)

(14)の $3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}{\pi}\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}+C}$ を改めて $3$C$ と書き換えると(6)になる．

【参考】

アークサインとアークコサインの関係

■確認問題

求まった答え $3$\displaystyle{ { \sin }^{ - 1 }\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}+C }$ を微分し，積分前の式 $3$\displaystyle{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}} }$ に戻ることを確認しなさい．

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>積分の問題>>不定積分の問題>> $3$\displaystyle{ \displaystyle{ \int \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{ 9- {x}^{2} } \hspace{2}}dx } }$

最終更新日： 2025年6月9日