基本的な対数関数の計算

■問題

$3$\displaystyle{ \hspace{1}{ \log }_{2} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} $ }$

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

■ヒント

(1) $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} $ =x}$ とおいて解く．

(2)対数の性質を利用して解く．

■解き方

(1) $3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} $ =x}$ とおく．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} $ =x}$ ⇔ $3$\displaystyle{ {2}^{x}=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} }\right) }$ (対数の定義参照)

$3$\displaystyle{ {2}^{x}=\left({ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} }\right) }$

$3$\displaystyle{ ={ \left({ \sqrt{8} }\right) }^{ - 1 } }$ (ここを参照)

$3$\displaystyle{ ={ \left({ \sqrt{ {2}^{3} } }\right) }^{ - 1 } }$

$3$\displaystyle{ ={ \left{{ { \left({ {2}^{3} }\right) }^{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }\right} }^{ - 1 } }$ (ここを参照)

$3$\displaystyle{ ={ \left({ {2}^{ 3\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} } }\right) }^{ \left({ - 1 }\right) } }$ (∵ $3$\displaystyle{ { $ {a}^{r} $ }^{s}={a}^{ rs } }$ )

$3$\displaystyle{ ={2}^{ 3\times \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\times \left({ - 1 }\right) } }$

$3$ ={2}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }$

すなわち

$3$\displaystyle{{2}^{x}={2}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

両辺とも底が $3$2$ と同じてある．よって，指数同士も等しくなる．

$3$\displaystyle{x=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$

(2)対数の性質を使って解く．

$3$\displaystyle{\hspace{1}{\log }_{2} $ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} \sqrt{8} \hspace{2}} $ }$ $3$\displaystyle{ =\hspace{1}{ \log }_{2}{ \left({ \sqrt{8} }\right) }^{ - 1 } }$

$3$\displaystyle{=\hspace{1}{\log }_{2}{2}^{ - \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}} }}$

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}\hspace{1}{\log }_{2}2}$ (∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}{R}^{t}=t\hspace{1}{\log }_{a}R$ )

$3$\displaystyle{=- \frac{\hspace{2}3\hspace{2}}{\hspace{2}2\hspace{2}}}$ (∵ $3$\hspace{1}{\log }_{a}a=1$ )

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日