基本的な指数方程式の問題

■問題

図は $3$ x=- 1$ を漸近線とする対数関数のグラフである．グラフを表す関数の式を求めよ．

■解説動画

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■答

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\left({ x+1 }\right)+1}$

$3$\displaystyle{y=- \hspace{1}{\log }_{3}\left({ x+1 }\right)+1}$

■ヒント

対数関数は一般的に

$3$y=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x+b }\right)+c$ (対数関数の一般形)　･･････(1)

と表せることを用いる．

$3$y=\hspace{1}{\log }_{a}x$ グラフの漸近線は $3$y$ 軸である．

$3$y=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x+b }\right)+c$ のグラフは， $3$y=\hspace{1}{\log }_{a}x$ のグラフを $3$x$ 軸方向に $3$- b$ ， $3$y$ 軸方向に $3$c$ 平行移動したものになる．

したがって， $3$y=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x+b }\right)+c$ のグラフの漸近線は， $3$x=- b$ となる．

■解き方

漸近線が $3$x=- 1$ より

$3$c=1$

が得られ，(1)は

$3$y=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ x+b }\right)+1$ ･･････(2)

となる．

グラフが点 $3$\left({ 0,1 }\right)$ を通ることより

$3$1=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ 0+b }\right)+1$ ･･････(3)

グラフが点 $3$\left({ 2,0 }\right)$ を通ることより

$3$0=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ 2+b }\right)+1$ ･･････(4)

(3)，(4)を連立させて， $3$a$ ， $3$b$ を求める.

(3)より

$3$\hspace{1}{\log }_{a}b=0$

$3$b=1$ ･･････(5)

が得られる．(5)を(4)に代入する．

$3$0=\hspace{1}{\log }_{a}\left({ 2+1 }\right)+1$

$3$\hspace{1}{\log }_{a}3=- 1$

$3${a}^{ - 1 }=3$ (∵対数の定義)

$3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}a\hspace{2}}=3}$ (指数が負の場合を参照)

$3$\displaystyle{a=\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$

となる.

以上より，グラフを表す対数関数の式は

$3$\displaystyle{y=\hspace{1}{\log }_{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} }\left({ x+1 }\right)+1}$

となる．底の変換公式を使って底を $3$\displaystyle{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}}}$ から $3$3$ に変更すると

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\left({ x+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}3\hspace{2}} \hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{y=\frac{\hspace{2} \hspace{1}{ \log }_{3}\left({ x+1 }\right) \hspace{2}}{\hspace{2} - 1 \hspace{2}}+1}$

$3$\displaystyle{y=- \hspace{1}{\log }_{3}\left({ x+1 }\right)+1}$

となる．

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2025年4月18日