相似定理

$L {f (a t)} = \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$ $L {f (a t)} = \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$

$L {\frac{1}{a} f (\frac{t}{a})} = F (a s)$ $L {\frac{1}{a} f (\frac{t}{a})} = F (a s)$

■証明

$L {f (a t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (a t) d t$ $L {f (a t)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (a t) d t$

ここで， $τ = a t$ $τ = a t$ とおくと， $d t = \frac{1}{a} d τ$ $d t = \frac{1}{a} d τ$ , $f (a t) = f (τ)$ $f (a t) = f (τ)$ となり

$L {f (τ)} = \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{s}{a} τ} f (τ) \cdot \frac{1}{a} d τ$ $L {f (τ)} = \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{s}{a} τ} f (τ) \cdot \frac{1}{a} d τ$

$= \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{s}{a} τ} f (τ) d τ$ $= \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{s}{a} τ} f (τ) d τ$

$= \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$ $= \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$

$τ = a t$ $τ = a t$ の関係から

$L {f (a t)} = \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$ $L {f (a t)} = \frac{1}{a} F (\frac{s}{a})$

■証明

$L {f (\frac{t}{a})} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (\frac{t}{a}) d t$ $L {f (\frac{t}{a})} = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f (\frac{t}{a}) d t$

ここで， $τ = \frac{t}{a}$ $τ = \frac{t}{a}$ とおくと， $d t = a d τ$ $d t = a d τ$ , $f (a t) = f (τ)$ $f (a t) = f (τ)$ となり

$L {f (τ)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s a τ} f (τ) \cdot a d τ$ $L {f (τ)} = \int_{0}^{\infty} e^{- s a τ} f (τ) \cdot a d τ$

$= a \int_{0}^{\infty} e^{- s a τ} f (τ) d τ$ $= a \int_{0}^{\infty} e^{- s a τ} f (τ) d τ$

$= a F (a s)$ $= a F (a s)$

$τ = \frac{t}{a}$ $τ = \frac{t}{a}$ の関係から

$L {f (\frac{t}{a})}$ $L {f (\frac{t}{a})}$ $= a F (a s)$ $= a F (a s)$

$\frac{1}{a} L {f (\frac{t}{a})}$ $\frac{1}{a} L {f (\frac{t}{a})}$ $= F (a s)$ $= F (a s)$

ラプラス変換の線形性より

$\frac{1}{a} L {f (\frac{t}{a})} = L {\frac{1}{a} f (\frac{t}{a})} = F (a s)$ $\frac{1}{a} L {f (\frac{t}{a})} = L {\frac{1}{a} f (\frac{t}{a})} = F (a s)$

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　最終更新日： 2023年6月6日

相似定理

■証明

■証明

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