# ラプラス変換基本公式表

 基本公式 $f\left(t\right)$  (実数 $t$ の関数) $F\left(s\right)$  ($s$  の関数) 線形性 $\sum _{n}{a}_{n}f\left(t\right)$ $\sum _{n}{a}_{n}{F}_{n}\left(s\right)$ 相似定理 $f\left(at\right)$ $\frac{1}{a}F\left(\frac{s}{a}\right)$ $\frac{1}{a}f\left(\frac{t}{a}\right)$ $F\left(as\right)$ 推移則 $f\left(t-a\right)u\left(t-a\right)$ ${e}^{-as}F\left(s\right)$ ${e}^{-at}f\left(t\right)$ $F\left(s+a\right)$ 微分則 $\frac{df\left(t\right)}{dt}$ $sF\left(s\right)-f\left(0\right)$ $\frac{{d}^{2}f\left(t\right)}{d{t}^{2}}$ ${s}^{2}F\left(s\right)-sf\left(0\right)-{f}^{\text{'}}\left(0\right)$ $\frac{{d}^{n}f\left(t\right)}{d{t}^{n}}$ ${s}^{n}F\left(s\right)-{s}^{n-1}f\left(0\right)-$$\cdots -s{f}^{\left(n-2\right)}\left(0\right)-{f}^{\left(n-1\right)}\left(0\right)$ $-tf\left(t\right)$ $\frac{dF\left(s\right)}{ds}$ ${\left(-t\right)}^{n}f\left(t\right)$ ${F}^{\left(n\right)}\left(s\right)$ 積分則 ${\int }_{0}^{t}f\left(t\right)dt$ $\frac{1}{s}F\left(s\right)+\frac{1}{s}{f}^{\left(-1\right)}\left(0\right)$ ${\int }_{0}^{t}{\int }_{0}^{t}\cdots {\int }_{0}^{t}f\left(t\right){\left(dt\right)}^{n}$ $\frac{1}{{s}^{n}}F\left(s\right)+\frac{1}{{s}^{n}}{f}^{\left(-1\right)}\left(0\right)+$$\cdots +\frac{1}{s}{f}^{\left(-n\right)}\left(0\right)$ ${\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt$ $\frac{1}{s}\left[{\int }_{-\infty }^{t}f\left(t\right)dt\right]+\frac{1}{s}F\left(s\right)$ $\frac{1}{t}f\left(t\right)$ ${\int }_{s}^{\infty }F\left(s\right)ds$ $\frac{1}{{t}^{n}}f\left(t\right)$ ${\int }_{s}^{\infty }{\int }_{s}^{\infty }\cdots {\int }_{s}^{\infty }F\left(s\right){\left(ds\right)}^{n}$ 合成積則 ${\int }_{0}^{t}{f}_{1}\left(t-\tau \right){f}_{2}\left(\tau \right)d\tau$ ${F}_{1}\left(s\right){F}_{2}\left(s\right)$ ${f}_{1}\left(t\right){f}_{2}\left(t\right)$ $\frac{1}{2\pi j}{\int }_{Br}{F}_{1}\left(s-\sigma \right){F}_{2}\left(\sigma \right)d\sigma$ パラメータによる微分則 $\frac{\partial }{\partial \alpha }\left\{f\left(t,\alpha \right)\right\}$ $\frac{\partial }{\partial \alpha }\left\{F\left(s,\alpha \right)\right\}$ パラメータによる積分則 ${\int }_{a}^{b}f\left(t,\alpha \right)d\alpha$ ${\int }_{a}^{b}F\left(s,\alpha \right)d\alpha$ パラメータによる極限則 $\underset{\alpha \to a}{lim}f\left(t,\alpha \right)$ $\underset{\alpha \to a}{lim}F\left(s,\alpha \right)$ 積分対応式 ${\int }_{0}^{t}\frac{1}{t}f\left(t\right)dt$ $\frac{1}{s}{\int }_{s}^{\infty }F\left(s\right)ds$ ${\int }_{t}^{\infty }\frac{1}{t}f\left(t\right)dt$ $\frac{1}{s}{\int }_{0}^{s}F\left(s\right)ds$ 積分等式 ${\int }_{0}^{\infty }f\left(t\right)dt$ ${\left[F\left(s\right)\right]}_{\infty }^{0}$ ${\int }_{0}^{\infty }\frac{1}{t}f\left(t\right)dt$ ${\int }_{0}^{\infty }F\left(s\right)ds$ 初期値定理 $\underset{t\to 0}{lim}f\left(t\right)$ $\underset{s\to \infty }{lim}sF\left(s\right)$ 最終値定理 $\underset{t\to \infty }{lim}f\left(t\right)$ $\underset{s\to 0}{lim}sF\left(s\right)$

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最終更新日： 2023年6月1日