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式の導出

以下のような逆演算子は，部分分数に分解することが出来る．

${\displaystyle \frac{1}{\left(1-aD\right)\left(1-bD\right)}}$${\displaystyle =\frac{1}{a-b}\left\{\frac{a}{\left(1-aD\right)}-\frac{b}{\left(1-bD\right)}\right\}}$　･･････(1)

■導出

${\displaystyle \frac{1}{\left(1-at\right)\left(1-bt\right)}}$

を因数分解すると

${\displaystyle \frac{1}{\left(1-at\right)\left(1-bt\right)}}$${\displaystyle =\frac{1}{a-b}\left(\frac{a}{1-at}-\frac{b}{1-bt}\right)}$ 　･･････(2)

となる．(2)の右辺を通分して整理すると

${\displaystyle \frac{1}{\left(1-at\right)\left(1-bt\right)}}$${\displaystyle =\frac{\frac{1}{a-b}\left\{a\left(1-bt\right)-b\left(1-at\right)\right\}}{\left(1-at\right)\left(1-bt\right)}}$ 　･･････(3)

となる．(4)の左辺と右辺の分母は同じであることより

${\displaystyle \frac{1}{a-b}\left\{a\left(1-bt\right)-b\left(1-at\right)\right\}=1}$　･･････(4)

が成り立つ．微分演算子は，多項式の同様に，和，差，定数倍，積が成り立つので

${\displaystyle \frac{1}{a-b}\left\{a\left(1-bD\right)-b\left(1-aD\right)\right\}=1}$　･･････(5)

が成り立つ．${\displaystyle F\left(x\right)}$ に(5)の両辺の微分演算子をほどこすと

${\displaystyle \frac{1}{a-b}\left\{a\left(1-bD\right)-b\left(1-aD\right)\right\}F\left(x\right)}$${\displaystyle =1\cdot F\left(x\right)}$　･･････(6)

更に，(6)の両辺に${\displaystyle \frac{1}{\left(1-aD\right)\left(1-bD\right)}}$ をほどこすと

(∵微分演算子の差より)

(∵この公式)

(∵この公式，および，${\displaystyle \frac{1}{f\left(D\right)}f\left(D\right)=1}$ )

${\displaystyle \frac{1}{a-b}\left\{\frac{a}{\left(1-aD\right)}-\frac{b}{\left(1-bD\right)}\right\}F\left(x\right)}$${\displaystyle =\frac{1}{\left(1-aD\right)\left(1-bD\right)}F\left(x\right)}$ 　　･･････(7)

となる．(7)より

${\displaystyle \frac{1}{\left(1-aD\right)\left(1-bD\right)}}$${\displaystyle =\frac{1}{a-b}\left\{\frac{a}{\left(1-aD\right)}-\frac{b}{\left(1-bD\right)}\right\}}$

 

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　最終更新日： 2023年6月27日

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