線形微分方程式

微分方程式の中で，関数 $y$ $y$ 　とその導関数 $y^{'}$ $y^{'}$ ， $y^{″}$ $y^{″}$ ， $y^{‴}$ $y^{‴}$ ，･･･についての1次方程式

$A_{n} (x) y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $A_{n} (x) y^{(n)} + A_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots$ $+ A_{2} (x) y^{″} + A_{1} (x) y^{'}$ $+ A_{2} (x) y^{″} + A_{1} (x) y^{'}$ $+ A_{0} (x) y = F (x)$ $+ A_{0} (x) y = F (x)$

を線形微分方程式という．また， $F (x)$ $F (x)$ のことを非同次項という．

$F (x) = 0$ $F (x) = 0$ の場合，線形同次微分方程式といい，

$F (x) \neq 0$ $F (x) \neq 0$ の場合，線形非同次微分方程式という．

線形微分方程式に含まれる導関数の最高次数が n 次だとすると，n 階線形微分方程式という．

■例

$y^{'} + x^{2} y = 3$ $y^{'} + x^{2} y = 3$ 　　･･････1階線形非同次微分方程式

$y^{″} + 4 y^{'} + 3 y = 0$ $y^{″} + 4 y^{'} + 3 y = 0$ 　　･･････2階線形同次微分方程式(2階定数係数同次微分方程式)

$y^{″} + 2 y^{'} + y = e^{2 x}$ $y^{″} + 2 y^{'} + y = e^{2 x}$ 　　･･････2階線形非同次微分方程式

$x^{3} y^{‴} + x^{2} y^{″} + x y^{'} + y = 0$ $x^{3} y^{‴} + x^{2} y^{″} + x y^{'} + y = 0$ 　　･･････3階線形同次微分方程式

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最終更新日： 2023年6月12日