ヤコビアン（Jacobian）
■2変数関数の場合
x=φ(u,v)
，y=ψ(u,v)
とし，φ,ψ
はu,v
で偏微分可能であるとする．
x,y
の全微分は
dx=∂φ∂udu+∂φ∂vdv
dy=∂ψ∂udu+∂ψ∂vdv
となる． 行列を用いて表すと
(dxdy)=⎛⎝∂φ∂u∂φ∂v∂ψ∂u∂ψ∂v⎞⎠(dudv)
となる．
行列
⎛⎝∂φ∂u∂φ∂v∂ψ∂u∂ψ∂v⎞⎠
の行列式
∣∣
∣∣∂φ∂u∂φ∂v∂ψ∂u∂ψ∂v∣∣
∣∣
をヤコビアン（Jacobian）といい，
∂(φ,ψ)∂(u,v)
で表す．
■3変数関数の場合
x=φ(u,v,w),y=ψ(u,v,w),z=ω(u,v,w)
とし，
φ,ψ,ω
は
u,v,w
で偏微分可能とする．
x,y,z
の全微分は
dx=∂φ∂udu+∂φ∂vdv+∂φ∂wdw
dy=∂ψ∂udu+∂ψ∂vdv+∂ψ∂wdw
dz=∂ω∂udu+∂ω∂vdv+∂ω∂wdw
となる． これを行列を用いて表すと，
⎛⎜⎝dxdydz⎞⎟⎠=⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝∂φ∂u∂φ∂v∂φ∂w∂ψ∂u∂ψ∂v∂ψ∂w∂ω∂u∂ω∂v∂ω∂w⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜⎝dudvdw⎞⎟⎠
行列
⎛⎜
⎜
⎜
⎜⎝∂φ∂u∂φ∂v∂φ∂w∂ψ∂u∂ψ∂v∂ψ∂w∂ω∂u∂ω∂v∂ω∂w⎞⎟
⎟
⎟
⎟⎠
の行列式
∣∣
∣
∣
∣∣∂φ∂u∂φ∂v∂φ∂w∂ψ∂u∂ψ∂v∂ψ∂w∂ω∂u∂ω∂v∂ω∂w∣∣
∣
∣
∣∣
をヤコビアン（Jacobian）といい，
∂(φ,ψ,ω)∂(u,v,w)
で表す．
■一般に
n変数関数の場合，行列を用いて表すと，
⎛⎜
⎜⎝f1⋮fn⎞⎟
⎟⎠=⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠⎛⎜
⎜⎝dx1⋮dxn⎞⎟
⎟⎠
行列
⎛⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎝∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn⎞⎟
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
の行列式
∣∣
∣
∣
∣
∣∣∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn∣∣
∣
∣
∣
∣∣
をヤコビアン（Jacobian）といい，
∂(f1⋯,fn)∂(x1⋯,xn)
で表す．
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学生スタッフ作成
最終更新日：
2016年12月14日
