微分と積分の順序交換

領域 $D$ $D$ において $f (x, y)$ $f (x, y)$ が連続で， $y$ $y$ で偏微分可能であるならば，

$\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d x$ $\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x = \int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d x$

が成り立つ．

■証明

$F (y) = \int_{a}^{b} f (x, y) d x$ $F (y) = \int_{a}^{b} f (x, y) d x$ とおく

$\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x$ $\frac{\partial}{\partial y} \int_{a}^{b} f (x, y) d x$

$= \frac{\partial}{\partial y} F (y)$ $= \frac{\partial}{\partial y} F (y)$

$= \lim_{k \to 0} \frac{F (y + k) - F (y)}{k}$ $= \lim_{k \to 0} \frac{F (y + k) - F (y)}{k}$

$= \lim_{k \to 0} \frac{\int_{a}^{b} f (x, y + k) d x - \int_{a}^{b} f (x, y) d x}{k}$ $= \lim_{k \to 0} \frac{\int_{a}^{b} f (x, y + k) d x - \int_{a}^{b} f (x, y) d x}{k}$

$= \lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} {f (x, y + k) - f (x, y)} d x$ $= \lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} {f (x, y + k) - f (x, y)} d x$ (積分の線形性より)

$\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = f_{y} (x, y)$ $\frac{\partial}{\partial y} f (x, y) = f_{y} (x, y)$ とおく．中間値の定理より

$f (x, y + k) - f (x, y) = f_{y} (x, y + θ k) k$ $f (x, y + k) - f (x, y) = f_{y} (x, y + θ k) k$ $(0 < θ < 1)$ $(0 < θ < 1)$

となる．よって

$\lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} {f (x, y + k) - f (x, y)} d x$ $\lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} {f (x, y + k) - f (x, y)} d x$

$= \lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) k d x$ $= \lim_{k \to 0} \frac{1}{k} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) k d x$

$= \lim_{k \to 0} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) d x$ $= \lim_{k \to 0} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) d x$

$\int_{a}^{b} f_{y} (x, y) d x = F_{y} (x, y)$ $\int_{a}^{b} f_{y} (x, y) d x = F_{y} (x, y)$ とおくと

$\lim_{k \to 0} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) d x$ $\lim_{k \to 0} \int_{a}^{b} f_{y} (x, y + θ k) d x$

$= \lim_{k \to 0} F_{y} (x, y + θ k)$ $= \lim_{k \to 0} F_{y} (x, y + θ k)$

$f (x, y)$ $f (x, y)$ が連続で， $y$ $y$ で偏微分可能であるので， $F_{y} (x, y)$ $F_{y} (x, y)$ は連続関数となる．よって

$\lim_{k \to 0} F_{y} (x, y + θ k) = F_{y} (x, y)$ $\lim_{k \to 0} F_{y} (x, y + θ k) = F_{y} (x, y)$ ･･････(1)

$\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d x = \int_{a}^{b} f_{y} (x, y) d x$ $\int_{a}^{b} \frac{\partial}{\partial y} f (x, y) d x = \int_{a}^{b} f_{y} (x, y) d x$ $= F_{y} (x, y)$ $= F_{y} (x, y)$ ･･････(2)

(1)，(2)より

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最終更新日： 2024年5月15日

微分と積分の順序交換

■証明

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