偏微分の順序交換

$z = f (x, y)$ $z = f (x, y)$ について， $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ ， $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ が共に連続ならば

$\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$

表現をかえると

$f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y)$ $f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y)$

が成り立つ．

■証明

偏導関数の定義より

$f_{x} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ $f_{x} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}$ $= lim h \to 0 \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}$

$f_{y} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}$ $f_{y} (x, y) = \frac{\partial f}{\partial y}$ $= lim k \to 0 \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}$ $= \lim_{k \to 0} \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}$

また

$f_{x y} = \frac{\partial f_{x}}{\partial y} = lim k \to 0 \frac{f_{x} (x, y + k) - f_{x} (x, y)}{k}$ $f_{x y} = \frac{\partial f_{x}}{\partial y} = \lim_{k \to 0} \frac{f_{x} (x, y + k) - f_{x} (x, y)}{k}$

$= lim k \to 0 \frac{lim h \to 0 \frac{f (x + h, y + k) - f (x, y + k)}{h} - lim h \to 0 \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}}{k}$ $= \lim_{k \to 0} \frac{\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y + k) - f (x, y + k)}{h} - \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}}{k}$

$= lim k \to 0 [\frac{1}{k} {lim h \to 0 \frac{f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}{h}}]$ $= \lim_{k \to 0} [\frac{1}{k} {\lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}{h}}]$

$= lim k \to 0 [lim h \to 0 \frac{1}{h k} {f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}]$ $= \lim_{k \to 0} [\lim_{h \to 0} \frac{1}{h k} {f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}]$ ･･････(1)

同様にして

$f_{y x} = \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = lim h \to 0 \frac{f_{y} (x + h, y) - f_{y} (x, y)}{h}$ $f_{y x} = \frac{\partial f_{y}}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f_{y} (x + h, y) - f_{y} (x, y)}{h}$

$= lim h \to 0 \frac{lim k \to 0 \frac{f (x + h, y + k) - f (x + h, y)}{k} - lim k \to 0 \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}}{h}$ $= \lim_{h \to 0} \frac{\lim_{k \to 0} \frac{f (x + h, y + k) - f (x + h, y)}{k} - \lim_{k \to 0} \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}}{h}$

$= lim h \to 0 [\frac{1}{h} {lim k \to 0 \frac{f (x + h, y + k) - f (x + h, y)}{k} - lim k \to 0 \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}}]$ $= \lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} {\lim_{k \to 0} \frac{f (x + h, y + k) - f (x + h, y)}{k} - \lim_{k \to 0} \frac{f (x, y + k) - f (x, y)}{k}}]$

$= lim h \to 0 [lim k \to 0 \frac{1}{h k} {f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}]$ $= \lim_{h \to 0} [\lim_{k \to 0} \frac{1}{h k} {f (x + h, y + k) - f (x, y + k) - f (x + h, y) + f (x, y)}]$ ･･････(2)

ここで

$Δ = f (x + h, y + k) - f (x, y + k)$ $Δ = f (x + h, y + k) - f (x, y + k)$ $- f (x + h, y)$ $- f (x + h, y)$ $+ f (x, y)$ $+ f (x, y)$ ･･････(3)

とおき，

$g_{1} (x) = f (x, y + k) - f (x, y)$ $g_{1} (x) = f (x, y + k) - f (x, y)$

とおくと，(3)は

$Δ = g_{1} (x + h) - g_{1} (x)$ $Δ = g_{1} (x + h) - g_{1} (x)$

平均値の定理より

$Δ = {g^{'}}_{1} (x + θ_{1} h) h$ ( $0 < θ_{1} < 1$ )

ここで ${g^{'}}_{1} (x)$ は

${g^{'}}_{1} (x) = \frac{d}{d x} g_{1} (x)$

$= {\frac{d}{d x} g_{1} (x + θ_{1} h)} h$

$= \frac{\partial}{\partial x} {f (x, y + k) - f (x, y)}$

$= f_{x} (x, y + k) - f_{x} (x, y)$

よって

$Δ = {f_{x} (x + θ_{1} h, y + k) - f_{x} (x + θ_{1} h, y)} h$ ･･････(4)

$g_{2} (y) = f_{x} (x + θ_{1} h, y)$ とおくと(4)は，

$Δ = {g_{2} (y + k) - g_{2} (y)} h$

平均値の定理より

$g_{2} (y + k) - g_{2} (y) = {g^{'}}_{2} (y + θ_{2} k) k$

となるので

$Δ = {{g^{'}}_{2} (y + θ_{2} k) k} h$ ( $0 < θ_{2} < 1$ )

$= {{g^{'}}_{2} (y + θ_{2} k)} h k$

ここで ${g^{'}}_{2} (y)$ は

${g^{'}}_{2} (y) = \frac{d}{d y} g_{2} (y)$

$= \frac{\partial}{\partial y} f_{x} (x + θ_{1} h, y)$

$= f_{x y} (x + θ_{1} h, y)$

よって

$Δ = f_{x y} (x + θ_{1} h, y + θ_{2} k) h k$ ･･････(5)

次に， $h_{1} (y) = f (x + h, y) - f (x, y)$ とおくと(3)は

$Δ = h_{1} (y + k) - h_{1} (y)$

平均値の定理より

$Δ = {h^{'}}_{1} (y + ϕ_{1} k) k$ ( $0 < ϕ_{1} < 1$ )

ここで ${h^{'}}_{1} (y)$ は

${h^{'}}_{1} (y) = \frac{d}{d y} h_{1} (y)$

$= \frac{\partial}{\partial y} {f (x + h, y) - f (x, y)}$

$= f_{y} (x + h, y) - f_{y} (x, y)$

よって

$Δ = {f_{y} (x + h, y + ϕ_{1} k) - f_{y} (x, y + ϕ_{1} k)} k$ ･･････(6)

$h_{2} (x) = f_{y} (x, y + ϕ_{1} k)$ とおくと(6)は

$Δ = {h_{2} (x + h) - h_{2} (x)} k$

平均値の定理より

$h_{2} (x + h) - h_{2} (x) = {h^{'}}_{2} (x + ϕ_{2} h) h$

となるので

$Δ = {{h^{'}}_{2} (x + ϕ_{2} h) h} k$ ( $0 < ϕ_{2} < 1$ )

$= {{h^{'}}_{2} (x + ϕ_{2} h)} h k$

ここで ${h^{'}}_{2} (x)$ は

${h^{'}}_{2} (x) = \frac{d}{d x} h_{2} (x)$

$= \frac{\partial}{\partial x} f_{y} (x, y + ϕ_{1} k)$

$= f_{y x} (x, y + ϕ_{1} k)$

よって

$Δ = f_{y x} (x + ϕ_{2} h, y + ϕ_{1} k) h k$ ･･････(7)

(1)，(5)より

$\lim_{\begin{array}{l} h \to 0 \\ k \to 0 \end{array}} \frac{Δ}{h k} = \lim_{\begin{array}{l} h \to 0 \\ k \to 0 \end{array}} f_{x y} (x + θ_{1} h, y + θ_{2} k)$ $= f_{x y} (x, y)$ ･･････(8)

(2)，(7)より

$\lim_{\begin{array}{l} h \to 0 \\ k \to 0 \end{array}} \frac{Δ}{h k} = \lim_{\begin{array}{l} h \to 0 \\ k \to 0 \end{array}} f_{y x} (x + ϕ_{2} h, y + ϕ_{1} k)$ $= f_{y x} (x, y)$ ･･････(9)

(8)，(9)より

$f_{x y} (x, y) = f_{y x} (x, y)$

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最終更新日： 2023年1月20日