偏微分の基本公式(I)の導出：和差

$f (x, y)$ ， $g (x, y)$ は $x, y$ を変数とする関数（2変数関数）とすると

$\frac{\partial}{\partial x} {f (x, y) \pm g (x, y)}$ $= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) \pm \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

が成り立つ．

■導出

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y)$ $= \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h}$

より

$\frac{\partial}{\partial x} {f (x, y) \pm g (x, y)}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{{f (x + h, y) \pm g (x + h, y)} - {f (x, y) \pm g (x, y)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{{f (x + h, y) - f (x, y)} \pm {g (x + h, y) - g (x, y)}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} \pm \lim_{h \to 0} \frac{g (x + h, y) - g (x, y)}{h}$

$= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) \pm \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

よって

$\frac{\partial}{\partial x} {f (x, y) \pm g (x, y)}$ $= \frac{\partial}{\partial x} f (x, y) \pm \frac{\partial}{\partial x} g (x, y)$

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年1月21日