偏微分の基本公式(I)の導出：商
f(x,y)f(x,y)
，
g(x,y)g(x,y)
は
x,yx,y
を変数とする関数（2変数関数）とすると
∂∂x{f(x,y)g(x,y)}∂∂x{f(x,y)g(x,y)}=(∂∂xf(x,y))g(x,y)−f(x,y)(∂∂xg(x,y)){g(x,y)}2=(∂∂xf(x,y))g(x,y)−f(x,y)(∂∂xg(x,y)){g(x,y)}2
が成り立つ．
■導出
偏導関数の定義式
∂∂xf(x,y)=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂∂xf(x,y)=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h
を利用すると
∂∂x{f(x,y)g(x,y)}∂∂x{f(x,y)g(x,y)}
=limh→0{f(x+h,y)g(x+h,y)}−{f(x,y)g(x,y)}h=limh→0{f(x+h,y)g(x+h,y)}−{f(x,y)g(x,y)}h
=limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)g(x,y)g(x+h,y)h=limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)g(x,y)g(x+h,y)h
=limh→01g(x,y)g(x+h,y)f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h=limh→01g(x,y)g(x+h,y)f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h
=limh→01g(x,y)g(x+h,y)limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h=limh→01g(x,y)g(x+h,y)limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h
=limh→01g(x,y)g(x+h,y)limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h=limh→01g(x,y)g(x+h,y)limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h
=1{g(x,y)}2limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x,y)+f(x,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h=1{g(x,y)}2limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x,y)+f(x,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h
=1{g(x,y)}2{limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x,y)h=1{g(x,y)}2{limh→0f(x+h,y)g(x,y)−f(x,y)g(x,y)h+limh→0f(x,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h}+limh→0f(x,y)g(x,y)−f(x,y)g(x+h,y)h}
=1{g(x,y)}2{limh→0f(x+h,y)−f(x,y)hg(x,y)=1{g(x,y)}2{limh→0f(x+h,y)−f(x,y)hg(x,y)+limh→0f(x,y)g(x,y)−g(x+h,y)h}+limh→0f(x,y)g(x,y)−g(x+h,y)h}
=1{g(x,y)}2{g(x,y)limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h=1{g(x,y)}2{g(x,y)limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h−f(x,y)limh→0g(x+h,y)−g(x,y)h}
=1{g(x,y)}2{(∂∂xf(x,y))g(x,y)−f(x,y)(∂∂xg(x,y))}
=(∂∂xf(x,y))g(x,y)−f(x,y)(∂∂xg(x,y)){g(x,y)}2
よって
∂∂x{f(x,y)g(x,y)}=(∂∂xf(x,y))g(x,y)−f(x,y)(∂∂xg(x,y)){g(x,y)}2
ホーム>>カテゴリー別分類>>微分>>偏微分>>偏微分の基本公式（I)>>偏微分の基本公式（I)の導出：商
学生スタッフ作成
最終更新日：
2023年1月21日
