2変数関数の極値

$f (x, y)$ において，以下の定理が成り立つ．

■定理１

$f_{x} (a, b) = f_{y} (a, b) = 0$ とする． $A = f_{x x} (a, b)$ ， $B = f_{x y} (a, b)$ ， $C = f_{y y} (a, b)$ ， $D = B^{2} - A C$ とおくと

(1) $A > 0$ ， $D < 0$ ならば $f (a, b)$ は極小値

(2) $A < 0$ ， $D < 0$ ならば $f (a, b)$ は極大値

(3) $D > 0$ ならば $f (a, b)$ は極値でない

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連立方程式

$f (x, y) = 0$ ，

$f_{x} (a, b) = 0$ の解

$(x, y) = (a, b)$ に対して

$y'' = - \frac{f_{x x} (a, b)}{f_{y} (a, b)} > 0, (< 0)$

ならば

$y$ は極小値（極大値）

$b$ をとる．

⇒定理の証明はこちら

条件 $g (x, y) = 0$ のもとで， $f (x, y)$ が点 $(a, b)$ で極値をとるとする．このとき $g_{x} (x, y) \neq 0$ または $g_{y} (x, y) \neq 0$ ならば，次式を満たす定数 $λ$ が存在する．

$f_{x} (a, b) + λ g_{x} (a, b) = 0$

$f_{y} (a, b) + λ g_{y} (a, b) = 0$

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最終更新日： 2023年1月21日