2変数のマクローリン(Maclaurin)の定理

2変数関数 $f (x, y)$ $f (x, y)$ が領域 $D$ $D$ で $n$ $n$ 回連続偏微分可能であるり，点 $(0, 0)$ $(0, 0)$ と点 $(x, y)$ $(x, y)$ を結ぶ線分が $D$ $D$ に含まれるとき

$f (x, y) = f (0, 0)$ $f (x, y) = f (0, 0)$ $+ \frac{1}{1!} (x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y}) f (0, 0)$ $+ \frac{1}{1!} (x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y}) f (0, 0)$ $+ \frac{1}{2!} {(x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f {(0, 0)}^{2}$ $+ \frac{1}{2!} {(x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f {(0, 0)}^{2}$

$R_{n + 1}$ $R_{n + 1}$ $= \frac{1}{(n + 1)!} {(x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (θ x, θ y)$ $= \frac{1}{(n + 1)!} {(x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y})}^{n + 1} f (θ x, θ y)$

となる $θ$ $θ$ （ $0 < θ < 1$ $0 < θ < 1$ ）が存在する．

これは2変数のテイラー定理において， $(a, b) = (0, 0)$ $(a, b) = (0, 0)$ ， $h = x$ $h = x$ ， $k = y$ $k = y$ としたものである．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年9月22日

2変数のマクローリン(Maclaurin)の定理

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