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f(a+h,b+k)=f(a,b)+11!(h∂∂x+k∂∂y)f(a,b)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(a,b)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(a,b)+Rn+1
f(a+h,b+k) は次のように表すことができる.
f(a+h,b+k)=f(a,b)+a+h∫afx(x,b)dx+b+k∫bfy(a+h,y)dy
この式を部分積分すると ⇒積分はこちら
=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)
+⋯+1(n−1)!hn−1(∂∂x)n−1f(a,b)+1n!hn(∂∂x)nf(a,b)
+kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)
+⋯+1(n−1)!kn−1(∂∂y)n−1f(a+h,b)+1n!kn(∂∂y)nf(a+h,b)
となることがわかる.
次にfy(a+h,b),fyy(a+h,b) ,fyyy(a+h,b) ,・・・,(∂∂y)n−1f(a+h,b) ,(∂∂y)nf(a+h,b) について考える.
fy(a+h,b) は次のように書き換えることができる.
同様に
・・・・・・
(∂∂y)nf(a+h,b)=(∂∂y)nf(a,b)+a+h∫a(∂∂y)nf(x,b)dx
となる.よって
f(a+h,b+k)
=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)
+kfy(a,b)+12k2fyy(a,b)+16k3fyyy(a,b)+⋯+1(n−1)!kn−1(∂∂y)n−1f(a,b)+1n!kn(∂∂y)nf(a,b)
+ka+h∫a∂∂xfy(x,b)dx+12k2a+h∫a∂∂xfyy(x,b)dx+16k3a+h∫a∂∂xfyyy(x,b)dx
+⋯+1(n−1)!kn−1a+h∫a(∂∂y)n−1f(x,b)dx+1n!kna+h∫a(∂∂y)nf(x,b)dx
さらに部分積分をすると ⇒積分はこちら
f(a+h,b+k)
=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)+⋯+1(n−1)!hn−1(∂∂x)n−1f(a,b)+1n!hn(∂∂x)nf(a,b)
+kfy(a,b)+12k2fyy(a,b)+16k3fyyy(a,b)+⋯+1(n−1)!kn−1(∂∂y)n−1f(a,b)+1n!kn(∂∂y)nf(a,b)
+k[hfyx(a,b)+12h2fyxx(a,b)+⋯+1(n−1)!hn−1(∂∂x)n−1∂∂yf(a,b)
+∫a+ha{−1n!(a+h−x)n}′(∂∂x)n∂∂yf(x,b)dx]
+12k2[hfyyx(a,b)+12h2fyyxx(a,b)+⋯+1(n−2)!hn−2(∂∂x)n−2(∂∂y)2f(a,b)
+16k3[hfyyyx(a,b)+12h2fyyyxx(a,b)+⋯+1(n−3)!hn−3(∂∂x)n−3(∂∂y)3f(a,b)
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
この式を整理すると
=f(a,b)+hfx(a,b)+kfy(a,b)+12h2fxx(a,b)+hkfyx(a,b)+12k2fyy(a,b)
+16h3fxxx(a,b)+12h2kfyxx(a,b)+12hk2fyyx(a,b)+16k3fyyy(a,b)+⋯
+1n!hn(∂∂x)nf(a,b)+1(n−1)!hn−1k(∂∂x)n−1∂∂yf(a,b)+12(n−2)!hn−2k2(∂∂x)n−2(∂∂y)2f(a,b)
+16(n−3)!hn−3k3(∂∂x)n−3(∂∂y)3f(a,b)+⋯+1(n−1)!hkn−1∂∂x(∂∂y)n−1+f(a,b)+1n!kn(∂∂y)nf(a,b)
=f(a,b)+11!{hfx(a,b)+kfy(a,b)}+12!{h2fxx(a,b)+2hkfyx(a,b)+k2fyy(a,b)}
+13!{h3fxxx(a,b)+3h2kfyxx(a,b)+3hk2fyyx(a,b)+k3fyyy(a,b)}+⋯
+1n!{(h∂∂x)nf(a,b)+n(h∂∂x)n−1k∂∂yf(a,b)+n(n−1)2!(h∂∂x)n−2(k∂∂y)2f(a,b)
+n(n−1)(n−2)3!(h∂∂x)n−3(k∂∂y)3f(a,b)+⋯+(k∂∂y)nf(a,b)}
=f(a,b)+11!(h∂∂x+k∂∂y)f(a,b)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(a,b)
+13!(h∂∂x+k∂∂y)3f(a,b)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(a,b)
ここで,
をRn+1に置き換えると
=f(a,b)+11!(h∂∂x+k∂∂y)f(a,b)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(a,b)+13!(h∂∂x+k∂∂y)3f(a,b)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(a,b)+Rn+1
となる.しかし Rn+1
Rn+1=1(n+1)!(h∂∂x+k∂∂y)n+1f(a+θh,b+θk)
である.
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学生スタッフ作成
最終更新日:
2023年10月16日