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応用分野: 2変数のテイラー(Taylor)の定理

2変数関数のテイラー(Taylor)の定理の導出

f(a+h,b+k)=f(a,b)+11!(hx+ky)f(a,b)+12!(hx+ky)2f(a,b)++1n!(hx+ky)nf(a,b)+Rn+1

Rn+1=1(n+1)!(hx+ky)n+1f(a+θh,b+θk)   (ただし, 0<θ<1

■導出

f(a+h,b+k)  は次のように表すことができる.

f(a+h,b+k)=f(a,b)+a+hafx(x,b)dx+b+kbfy(a+h,y)dy

この式を部分積分すると   積分はこちら

=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)

++1(n1)!hn1(x)n1f(a,b)+1n!hn(x)nf(a,b)

+a+ha{1(n+1)!(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

+kfy(a+h,b)+12k2fyy(a+h,b)+16k3fyyy(a+h,b)

++1(n1)!kn1(y)n1f(a+h,b)+1n!kn(y)nf(a+h,b)

+b+kb{1(n+1)!(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

となることがわかる.

次にfy(a+h,b)fyy(a+h,b)fyyy(a+h,b) ,・・・,(y)n1f(a+h,b)(y)nf(a+h,b) について考える.

fy(a+h,b) は次のように書き換えることができる.

fy(a+h,b)=fy(a,b)+a+haxfy(x,b)dx

同様に

fyy(a+h,b)=fyy(a,b)+a+haxfyy(x,b)dx

fyyy(a+h,b)=fyyy(a,b)+a+haxfyyy(x,b)dx

・・・・・・

(y)n1f(a+h,b)=(y)n1f(a,b)+a+ha(y)n1f(x,b)dx

(y)nf(a+h,b)=(y)nf(a,b)+a+ha(y)nf(x,b)dx

となる.よって

f(a+h,b+k)

=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)

++1(n1)!hn1(x)n1f(a,b)1n!hn(x)nf(a,b)+a+ha{1(n+1)!(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

+kfy(a,b)+12k2fyy(a,b)+16k3fyyy(a,b)++1(n1)!kn1(y)n1f(a,b)+1n!kn(y)nf(a,b)

+ka+haxfy(x,b)dx+12k2a+haxfyy(x,b)dx+16k3a+haxfyyy(x,b)dx

++1(n1)!kn1a+ha(y)n1f(x,b)dx+1n!kna+ha(y)nf(x,b)dx

+b+kb{1(n+1)!(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

さらに部分積分をすると   積分はこちら

f(a+h,b+k)

=f(a,b)+hfx(a,b)+12h2fxx(a,b)+16h3fxxx(a,b)++1(n1)!hn1(x)n1f(a,b)+1n!hn(x)nf(a,b)

+a+ha{1(n+1)!(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

+kfy(a,b)+12k2fyy(a,b)+16k3fyyy(a,b)++1(n1)!kn1(y)n1f(a,b)+1n!kn(y)nf(a,b)

+k[hfyx(a,b)+12h2fyxx(a,b)++1(n1)!hn1(x)n1yf(a,b)

+a+ha{1n!(a+hx)n}(x)nyf(x,b)dx]

+12k2[hfyyx(a,b)+12h2fyyxx(a,b)++1(n2)!hn2(x)n2(y)2f(a,b)

+a+ha{1(n1)!(a+hx)n1}(x)n1(y)2f(x,b)dx]

+16k3[hfyyyx(a,b)+12h2fyyyxx(a,b)++1(n3)!hn3(x)n3(y)3f(a,b)

+a+ha{1(n2)!(a+hx)n2}(x)n2(y)3f(x,b)dx]

++

+1(n1)!kn1[hx(y)n1f(a,b)+a+ha{12!(a+hx)2}(x)2(y)n1f(x,b)dx]

+1n!kn+a+ha{(a+hx)}(x)(y)nf(x,b)dx

+b+kb{1(n+1)!(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

この式を整理すると

=f(a,b)+hfx(a,b)+kfy(a,b)+12h2fxx(a,b)+hkfyx(a,b)+12k2fyy(a,b)

+16h3fxxx(a,b)+12h2kfyxx(a,b)+12hk2fyyx(a,b)+16k3fyyy(a,b)+

+1n!hn(x)nf(a,b)+1(n1)!hn1k(x)n1yf(a,b)+12(n2)!hn2k2(x)n2(y)2f(a,b)

+16(n3)!hn3k3(x)n3(y)3f(a,b)++1(n1)!hkn1x(y)n1+f(a,b)+1n!kn(y)nf(a,b)

+a+ha{1(n+1)!(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

+ka+ha{1n!(a+hx)n}(x)nyf(x,b)dx

+12k2a+ha{1(n1)!(a+hx)n1}(x)n1(y)2f(x,b)dx

+16k3a+ha{1(n2)!(a+hx)n2}(x)n2(y)3f(x,b)dx+

+1(n1)!kn1a+ha{12!(a+hx)2}(x)2(y)n1f(x,b)dx

+1n!kna+ha{(a+hx)2}x(y)nf(x,b)dx

+b+kb1(n+1)!{(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

=f(a,b)+11!{hfx(a,b)+kfy(a,b)}+12!{h2fxx(a,b)+2hkfyx(a,b)+k2fyy(a,b)}

+13!{h3fxxx(a,b)+3h2kfyxx(a,b)+3hk2fyyx(a,b)+k3fyyy(a,b)}+

+1n!{(hx)nf(a,b)+n(hx)n1kyf(a,b)+n(n1)2!(hx)n2(ky)2f(a,b)

+n(n1)(n2)3!(hx)n3(ky)3f(a,b)++(ky)nf(a,b)}

+1(n+1)![a+ha{(a+hx)n+1}(x)n+1f(x,b)dx

+(n+1)ka+ha{(a+hx)n}(x)nyf(x,b)dx

+(n+1)n2k2a+ha{(a+hx)n1}(x)n1(y)2f(x,b)dx

+(n+1)n(n1)3!k3a+ha{(a+hx)n2}(x)n2(y)3f(x,b)dx+

+(n+1)n(n1)43(n1)!kn1a+ha{(a+hx)2}(x)2(y)n1f(x,b)dx

+(n+1)n(n1)32n!kna+ha{(a+hx)}x(y)nf(x,b)dx]

+b+kb1(n+1)!{(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy

=f(a,b)+11!(hx+ky)f(a,b)+12!(hx+ky)2f(a,b)

+13!(hx+ky)3f(a,b)++1n!(hx+ky)nf(a,b)

+1(n+1)![{nr=0n+1Crkra+ha{(a+hx)nr+1}(x)nr+1(y)rf(x,b)dx}

+b+kb{(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy]

ここで,

1(n+1)![{nr=0n+1Crkra+ha{(a+hx)nr+1}(x)nr+1(y)rf(x,b)dx}

+b+kb{(b+ky)n+1}(y)n+1f(a+h,y)dy]

Rn+1に置き換えると

=f(a,b)+11!(hx+ky)f(a,b)+12!(hx+ky)2f(a,b)+13!(hx+ky)3f(a,b)++1n!(hx+ky)nf(a,b)+Rn+1

となる.しかし Rn+1

Rn+1=1(n+1)!(hx+ky)n+1f(a+θh,b+θk)

である.



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最終更新日: 2023年10月16日

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