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応用分野: 必要十分条件の証明

微分と積分の順序交換

領域 D において f( x,y ) 連続で, y 偏微分可能であるならば,

y a b f( x,y )dx = a b y f( x,y )dx  

が成り立つ.

■証明

F( y )= a b f( x,y )dx  とおく

y a b f( x,y )dx = y F( y )   

                       = lim k0 F( y+k )F( y ) k  

                       = lim k0 a b f( x,y+k )dx a b f( x,y )dx k  

                       = lim k0 1 k a b { f( x,y+k )f( x,y ) }dx     (積分の線形性より)

y f( x,y )= f y ( x,y )  とおく.中間値の定理より

f( x,y+k )f( x,y )= f y ( x,y+θk )k   ( 0<θ<1 )

となる.よって

   lim k0 1 k a b { f( x,y+k )f( x,y ) }dx  

= lim k0 1 k a b f y ( x,y+θk )kdx  

= lim k0 a b f y ( x,y+θk )dx  

a b f y ( x,y )dx = F y ( x,y )  とおくと

   lim k0 a b f y ( x,y+θk )dx  

= lim k0 F y ( x,y+θk )  

f( x,y )  が連続で, y で偏微分可能であるので, F y ( x,y ) は連続関数となる.よって

lim k0 F y ( x,y+θk )= F y ( x,y )  ・・・・・・(1)

a b y f( x,y )dx = a b f y ( x,y )dx = F y ( x,y )  ・・・・・・(2)

(1)(2)より

y a b f( x,y )dx = a b y f( x,y )dx  

 

 

 

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最終更新日: 2013年10月4日

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