# 合成関数の偏導関数の導出

2変数関$z=f\left(x,y\right)$$x=\phi \left(u,v\right)$,$y=\psi \left(u,v\right)$ ならば，偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial v}$

$\frac{\partial z}{\partial v}={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial v}+{f}_{y}\frac{\partial y}{\partial v}$

となる．

## ■導出

$\frac{\partial z}{\partial v}$$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v+h\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v+h\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)+f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v+h\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)}{\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)}\frac{\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

$+\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)}\frac{\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$  ･･････(1)

(1)の右辺第1項を考える．

(与式)$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v+h\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)}{\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

$\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)=i$   とおくと，$\phi \left(u,v+h\right)=\phi \left(u,v\right)+i=x+i$

$h\to 0$  ならば$i\to 0$ となる．さらに$\psi \left(u,v+h\right)$${y}^{\prime }$ に置き換えると

(与式)$=\underset{i\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x+i,{y}^{\prime }\right)-f\left(x,{y}^{\prime }\right)}{i}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\phi \left(u,v+h\right)-\phi \left(u,v\right)}{h}$

$={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial v}$

(1)の右辺第2項を考える.

(与式)$=\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v+h\right)\right)-f\left(\phi \left(u,v\right),\psi \left(u,v\right)\right)}{\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$

$\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)=j$  とおくと，$\psi \left(u,v+h\right)=\psi \left(u,v\right)+j=y+j$

$h\to 0$  ならば$j\to 0$ となる．さらに$\phi \left(u,v\right)$$x$ に置き換えると

(与式)$=\underset{j\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{f\left(x,y+j\right)-f\left(x,y\right)}{j}\underset{h\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{\psi \left(u,v+h\right)-\psi \left(u,v\right)}{h}$

$={f}_{y}\frac{\partial y}{\partial v}$

$\frac{\partial z}{\partial v}={f}_{x}\frac{\partial x}{\partial v}+{f}_{y}\frac{\partial y}{\partial v}$

となる．

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