偏微分の基本公式(I)の導出：定数倍

${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ は${\displaystyle x,y}$ を変数とする関数（2変数関数） ， ${\displaystyle c}$ は定数とすると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}cf\left(x,y\right)=c\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

が成り立つ．

■導出

偏導関数の定義式

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}$  

を利用すると

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}cf\left(x,y\right)}$${\displaystyle =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{cf\left(x+h,y\right)-cf\left(x,y\right)}{h}}$

${\displaystyle =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c\left\{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)\right\}}{h}}$

${\displaystyle =c\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h,y\right)-f\left(x,y\right)}{h}}$

${\displaystyle =c\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

よって

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}cf\left(x,y\right)=c\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

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最終更新日： 2023年1月21日