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応用分野: 偏微分の基本公式(I)
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偏微分の基本公式(I)の導出:商

f ( x , y ) g ( x , y ) x , y を変数とする関数(2変数関数)とすると

x { f( x,y ) g( x,y ) } = ( x f( x,y ) )g( x,y )f( x,y )( x g( x,y ) ) { g( x,y ) } 2

が成り立つ.

■導出

偏導関数の定義式

x f( x,y )= lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h

を利用すると

x { f ( x , y ) g ( x , y ) }

= lim h 0 { f ( x + h , y ) g ( x + h , y ) } { f ( x , y ) g ( x , y ) } h

= lim h 0 f ( x + h , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x + h , y ) g ( x , y ) g ( x + h , y ) h

= lim h 0 1 g ( x , y ) g ( x + h , y ) f ( x + h , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x + h , y ) h

= lim h 0 1 g ( x , y ) g ( x + h , y ) lim h 0 f ( x + h , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x + h , y ) h

= lim h 0 1 g ( x , y ) g ( x + h , y ) lim h 0 f ( x + h , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x + h , y ) h

= 1 { g ( x , y ) } 2 lim h 0 f ( x + h , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x , y ) + f ( x , y ) g ( x , y ) f ( x , y ) g ( x + h , y ) h

= 1 { g( x,y ) } 2 { lim h0 f( x+h,y )g( x,y )f( x,y )g( x,y ) h + lim h0 f( x,y )g( x,y )f( x,y )g( x+h,y ) h }

= 1 { g( x,y ) } 2 { lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h g( x,y ) + lim h0 f( x,y ) g( x,y )g( x+h,y ) h }

= 1 { g( x,y ) } 2 { g( x,y ) lim h0 f( x+h,y )f( x,y ) h f( x,y ) lim h0 g( x+h,y )g( x,y ) h }

= 1 { g( x,y ) } 2 { ( x f( x,y ) )g( x,y ) f( x,y )( x g( x,y ) ) }

= ( x f ( x , y ) ) g ( x , y ) f ( x , y ) ( x g ( x , y ) ) { g ( x , y ) } 2

よって

x { f( x,y ) g( x,y ) } = ( x f( x,y ) )g( x,y )f( x,y )( x g( x,y ) ) { g( x,y ) } 2

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年1月21日

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