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逆関数の導関数

${\displaystyle y=f\left(x\right)}$  をx に関して解いて得られる逆関数${\displaystyle x=g\left(y\right)}$  の導関数は

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$  

となる．

■導出

${\displaystyle {\displaystyle \frac{dx}{dy}{\displaystyle =\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(y+h\right)-g\left(y\right)}{h}}}}$

ここで，${\displaystyle h=\Delta y=f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}$   （${\displaystyle j=\Delta x}$ ），${\displaystyle g\left(y+h\right)-g\left(y\right)=\Delta x=j}$  とおくことができる．また，${\displaystyle h\to 0}$  ならば${\displaystyle j\to 0}$ となる． よって，

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\frac{j}{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}}$

${\displaystyle =\underset{j\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}{j}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{j\to 0}{lim}\frac{f\left(x+j\right)-f\left(x\right)}{j}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}}$   微分に関する基本式を参照

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$

　

●グラフを用いた逆関数の導関数の説明

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta y}}$

ここで，

${\displaystyle \Delta x=g\left(y+\Delta y\right)-g\left(y\right)}$ ，${\displaystyle \Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}$ である．${\displaystyle \Delta x}$ ，${\displaystyle \Delta y}$ は，ある値である．よって，${\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}}$ の分母分子を${\displaystyle \Delta x}$ で割ることができ，

${\displaystyle {\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{ \frac{\Delta x}{\Delta x} }{\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{ \frac{\Delta y}{\Delta x} }}}$

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta y}{\displaystyle =\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{1}{ \frac{\Delta y}{\Delta x} }}}}$  

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{\Delta y\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}}}$ 

${\displaystyle =\frac{1}{\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}}}$      (${\displaystyle \Delta g\to 0}$ のとき${\displaystyle \Delta x\to 0}$ となるので)

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$ 

以上より

${\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}}$

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最終更新日： 2023年5月25日

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