増減表

増減表とは，関数 ${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフの概略を描くために， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ の符号を求めて関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の増加および減少の様子を表にまとめたものである．

上記の増減表からグラフの概略を描くと，下の図のようになる．

第2次導関数まで使った増減表⇒変曲点とグラフの凹凸を参照

■増減表の書き方

関数 $f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x+5$ を例に増減表の一般的な書き方を説明する．

1. ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ を満たす x の値を求める．（ ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ を満たす x の値で関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は極大あるいは極小になる．）

   ${\displaystyle \begin{array}{ll}{f}^{\prime }\left(x\right)\hfill & =3x^2+6x-9\hfill \\ \hfill & =3\left(x^2+2x-3\right)\hfill \\ \hfill & =3\left(x+3\right)\left(x-1\right)\hfill \end{array}}$

   よって， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ を満たす x の値は， ${\displaystyle x=-3,1}$ である． 求めた範囲で増減表を作成すると下のようになる．

   x	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle \cdots }$	1	${\displaystyle \cdots }$
   ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$		${\displaystyle 0}$		${\displaystyle 0}$
   ${\displaystyle f\left(x\right)}$

   
   
   
2. 次に， ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$ の符号と書き加え， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の増減を矢印で示す．（ ${\displaystyle f\left(x\right)>0}$ では関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は増加し， ${\displaystyle f\left(x\right)<0}$ では関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は減少する．）

   x	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle -3}$	${\displaystyle \cdots }$	1	${\displaystyle \cdots }$
   ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$	+	${\displaystyle 0}$	-	${\displaystyle 0}$	+
   ${\displaystyle f\left(x\right)}$	${\displaystyle \nearrow }$		${\displaystyle \searrow }$		${\displaystyle \nearrow }$

   
   
   
3. 最後に極値の値を求める．

   ${\displaystyle f\left(-3\right)}$ ${\displaystyle ={\left(-3\right)}^3+3·{\left(-3\right)}^2-9·\left(-3\right)+5}$ ${\displaystyle =32}$

   ${\displaystyle f\left(1\right)}$ ${\displaystyle ={\left(1\right)}^3+3·{\left(1\right)}^2-9·\left(1\right)+5}$ ${\displaystyle =0}$

   x	${\displaystyle \cdots }$	− 3	${\displaystyle \cdots }$	1	${\displaystyle \cdots }$
   ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$	+	${\displaystyle 0}$	-	${\displaystyle 0}$	+
   ${\displaystyle f\left(x\right)}$	${\displaystyle \nearrow }$	${\displaystyle 32}$	${\displaystyle \searrow }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \nearrow }$

下に 関数 $f\left(x\right)=x^3+3x^2-9x+5$ のグラフを示す．上の増減表と比較してみよう．

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最終更新日： 2025年2月22日

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