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微分　arctanx 

${\displaystyle {\left({tan}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}}$

■導出

${\displaystyle y={tan}^{-1}x}$  とすると，${\displaystyle x=tany}$  と書きかえることができる（アークタンジェント参照）．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$　　(${\displaystyle \because }$ 逆関数の微分)

${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{{cos}^{2}y}}}$ 　　(${\displaystyle \because \frac{d}{dy}tany=\frac{1}{{cos}^{2}y}}$ ⇒ ここを参照 )

${\displaystyle =\frac{1}{1+{tan}^{2}y}}$ 　　(${\displaystyle \because {tan}^{2}y+1=\frac{1}{{cos}^{2}y}}$ ⇒ ここを参照 )

${\displaystyle =\frac{1}{1+x^2}}$

${\displaystyle \therefore {\left({tan}^{-1}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}}$

 

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最終更新日： 2023年6月7日

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