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関数が増加する場合の微分係数の値

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  が増加している区間では，微分係数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$   は

$f^{\prime }\left(x\right)\geqq 0$  

となる．

■証明

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  が増加している区間の任意の２つの数 ${\displaystyle x_1}$ ， ${\displaystyle x_2}$ において， ${\displaystyle x_1<x_2}$  のとき

$f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

であるので

${\displaystyle x_2-x_1>0}$  ， ${\displaystyle f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0}$

となる．

よって， x  の値が ${\displaystyle x_1}$ から ${\displaystyle x_2}$ に変化したときの平均変化率の値は

${\displaystyle \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0}$  

となる．

${\displaystyle x_2}$ を ${\displaystyle x_1}$ に限りなく近づけると，平均変化率の値は，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  の ${\displaystyle x_1}$ における微分係数となる．式で表すと

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_1\right)=\underset{x_2\to x_1}{lim}\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}}$  

となる．

ここで，平均変化率は ${\displaystyle x_1<x_2}$ を満たす限り常に正の値をとるが，正の値をとる量の極限は$0$になることもある（例えば${\displaystyle x\to +0}$ のとき$x$ は常に正であるが，その極限は$0$ である）．一般に，常に正の値をとる量の極限について言えるのは「$0$以上」ということである．

よって

${\displaystyle f^{\prime }\left(x_1\right)\geqq 0}$  

が成り立つ．関数が増加している区間の任意の数 ${\displaystyle x_1}$ を x で置き換えてもよい．

したがって，関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$  が増加している区間では，微分係数 ${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)}$   は

$f^{\prime }\left(x\right)\geqq 0$  

が成り立つ．

備考

例えば${\displaystyle f\left(x\right)=x^3}$ は実数全体で増加する関数であるが，${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2}$ であるから${\displaystyle f^{\prime }\left(0\right)=0}$ となる．このように，増加する関数でも微分係数が$0$ になる点が存在しうる．

「ある区間で常に${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)>0}$ ならば，関数${\displaystyle f\left(x\right)}$はその区間で増加する」は成り立つ．ただし，この命題の仮定を${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)\geqq 0}$に弱めることはできない．${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)\geqq 0}$を満たす関数には定数関数も含まれるが，定数関数は増加する関数ではないからである．

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最終更新日： 2026年9月8日

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