線分の内分点(複素平面)

複素数 ${\displaystyle p=x_1+y_{1}i}$ ， ${\displaystyle q=x_2+y_{2}i}$ に関して，複素平面上の点 ${\displaystyle \text{P}\left(p\right)}$ と点 ${\displaystyle \text{Q}\left(q\right)}$ を結ぶ線分 $\text{PQ}$ を ${\displaystyle m:n}$ に内分する点 ${\displaystyle \text{R}\left(r\right)}$ の複素数 $r$ は

${\displaystyle r=\frac{nq+mp}{m+n}}$ ${\displaystyle =\frac{n{x}_1+m{x}_2+\left(n{y}_1+m{y}_2\right)i}{m+n}}$

となる．

【参考】

• 内分点
• 線分をｍ：ｎに内分する点の位置ベクトル

■導出

線分 $\text{PR}$ の長さは線分 $\text{PQ}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{m+n}}$ 倍である．言い換えると，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{T}\left(r-p\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OT}$ の長さは，原点 $\text{O}$ と 点 ${\displaystyle \text{S}\left(q-p\right)}$ を結ぶ線分 $\text{OS}$ の長さの ${\displaystyle \frac{m}{m+n}}$ 倍である．よって

${\displaystyle r-p=\frac{m}{m+n}\left(q-p\right)}$

となる．(複素数の実数倍を参照)

これより

${\displaystyle r=p+\frac{m}{m+n}\left(q-p\right)}$

${\displaystyle =\frac{\left(m+n\right)p+m\left(q-p\right)}{m+n}}$

${\displaystyle =\frac{nq+mp}{m+n}}$ ･･････(1)

が得られる．

(1)に ${\displaystyle p=x_1+y_{1}i}$ ， ${\displaystyle q=x_2+y_{2}i}$ を代入すると

${\displaystyle r=\frac{n\left(x_1+y_{1}i\right)+\left(m{x}_2+y_{2}i\right)}{m+n}}$

${\displaystyle =\frac{n{x}_1+m{x}_2+\left(n{y}_1+m{y}_2\right)i}{m+n}}$

となる．

${\displaystyle r=x_3+y_{3}i}$ とおくと

${\displaystyle x_3=\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}}$

${\displaystyle y_3=\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年11月25日