$x^3=1$ の解 

$x^3=1$ の解は複素数を学習する上で非常に重要な式である．このページで詳しく解説する．

$x^3=1$ の解を求める．

まず，$x^3-1=0$ の形にして因数分解する．

$\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0$   ･･････(1)

(1)より

$x-1=0$または，$x^2+x+1=0$

$x^2+x+1=0$ を解の公式を使って解くと

${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{-3}}{2}}$

${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt[]{3}i}{2}}$

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}i}$

となり虚数解（ここを参照）となる．

以上より，$x^3=1$ の解は

1，${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ ，${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$  

となる．

理解をさらに深めるために求まった解を極形式に変えてみる(偏角$\theta$の範囲を$0°<\theta <360°$ とする)．

$1=cos0°+sin0°$ 　

${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos120°+isin120°}$ 　

${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=cos240°+isin240°}$ 　

となり，複素数の絶対値が1で偏角が0°，120°，240°の120°間隔になっている特徴がある．

$x^3=1$ の3つの解を複素平面上に表すと下図のようになる．

半径1の円上に$x=1$を起点として 120°($=\frac{360°}{3}$ )づつ正の方向に 回転したところに解が存在する．

${\displaystyle \omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ 　とおく（$\omega$を1の原始立方解（虚数立方解）という）と, $\omega ·\omega ={\omega }^2$は複素数の積の特徴より複素数$\omega$を120°回転させた複素数になる．すなはち$x^3=1$の虚数解のもう一方${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$  と一致する．

この複素数の積の特徴を利用して，さらに$x^3=1$ の解 について考えてみる．

$x=1$に${\displaystyle -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(=cos120°+isin120°\right)}$ を3回掛けると360°回転して元に戻る．式で表すと，

• ${\displaystyle 1·(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

• ${\displaystyle (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

• ${\displaystyle (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

${\displaystyle ={(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}^3}$

${\displaystyle ={(cos120°+isin120°)}^3}$

${\displaystyle =\{cos(120°\times 3)+isin(120°\times 3\left)\right\}}$

${\displaystyle =cos360°+isin360°}$

${\displaystyle =1}$

$x=1$に${\displaystyle -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\left(=cos240°+isin240°\right)}$ を3回掛けると720°回転して元に戻る．式で表すと，

• ${\displaystyle 1·(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

• ${\displaystyle (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

• ${\displaystyle (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}$

${\displaystyle ={(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}^3}$

${\displaystyle ={(cos240°+isin240°)}^3}$

${\displaystyle =\{cos(240°\times 3)+isin(240°\times 3\left)\right\}}$

${\displaystyle =cos720°+isin720°}$

${\displaystyle =1}$

このような特徴を一般化したものがド・モアブルの定理であり，$z^n=\alpha$の解である．

 

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最終更新日：2023年2月25日