ケーリー・ハミルトンの定理の具体例
問1:行列
A=(
a
b
c
d
)
が
A
2
−4A+3E=O
を満たすとき,
a+d
,
ad−bc
の値を求めよ. 解:
a+d=p
,
ad−bc=q
とおく. 行列
A
について,ハミルトン・ケーリーの定理より,
A
2
−pA+qE=O
が成り立つ. よって,
A
2
=pA−qE
.....@
A
2
=pA−qE
を
A
2
−4A+3E=
O.....A
に代入すると,
(p−4)A−(q−3)E=O
.....B
[1]
p=4
のとき,Bから
p=3
[2]
p≠4
のとき,Bから,
A=
q−3
p−4
E
q−3
p−4
E=k
とおくと,
A=kE
Aに代入して,
(
k
2
−4k+3)E=O
よって,
k
2
−4k+3=0
これを解いて,
k=1,3
ゆえに,
A=(
1
0
0
1
),(
3
0
0
3
)
このとき,
p=2,q=1;p=6,q=9
∴(a+d,ad−bc)=(2,1),(4,3),(6,9)
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初版:2004年7月8日,最終更新日:
2008年10月8日 |