互換

任意の2つの自然数の対応だけ入れ替え，その他の自然数は同じ自然数に対応させる置換のことを主に互換(ごかん)といい，任意の2つの自然数が ${\displaystyle i}$ 　と ${\displaystyle j}$ 　だとすると，互換は ${\displaystyle \left(i,j\right)}$ と表す．

例えば４次の置換で互換 ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ とは

${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill & 4\hfill \end{array}\right)}$

の置換のことで

${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill & 4\hfill \end{array}\right)=\left(2,3\right)}$

となる．

互換は置換の特別な場合であるので置換に掛けることができ，

${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \end{array}\right)\left(2,3\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill & 4\hfill \end{array}\right)}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill & 4\hfill \end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1\hfill & 2\hfill & 3\hfill & 4\hfill \\ 1\hfill & 3\hfill & 2\hfill & 4\hfill \end{array}\right)}$

は恒等置換に ${\displaystyle \left(2,3\right)}$ を掛け合わせたものである．

一般に，すべての置換は，恒等置換にいくつかの互換を順にかける(互換の積)と得られる．

 

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最終更新日： 2023年2月9日