行列の計算則積について(1)

$A$ $A$ が $l \times m$ $l \times m$ 行列， $B$ $B$ が $m \times n$ $m \times n$ 行列ならば

$(α A) B = α (A B) = A (α B)$ $(α A) B = α (A B) = A (α B)$

■証明

$A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l m} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l m} \end{matrix})$ ， $B = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix})$

とし，

$α A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} α a_{11} & α a_{12} & \dots & α a_{1 m} α a_{21} & α a_{22} & \dots & α a_{2 m} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ α a_{l 1} & α a_{l 2} & \dots & α a_{l m} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $α A = (\begin{matrix} α a_{11} & α a_{12} & \dots & α a_{1 m} \\ α a_{21} & α a_{22} & \dots & α a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α a_{l 1} & α a_{l 2} & \dots & α a_{l m} \end{matrix})$ $= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} {a^{'}}_{11}^{'} & {a^{'}}_{12}^{'} & \dots & {a^{'}}_{1 m}^{'} {a^{'}}_{21}^{'} & {a^{'}}_{22}^{'} & \dots & {a^{'}}_{2 m}^{'} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ {a^{'}}_{l 1}^{'} & {a^{'}}_{l 2}^{'} & \dots & {a^{'}}_{l m}^{'} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $= (\begin{matrix} {a^{'}}_{11} & {a^{'}}_{12} & \dots & {a^{'}}_{1 m} \\ {a^{'}}_{21} & {a^{'}}_{22} & \dots & {a^{'}}_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {a^{'}}_{l 1} & {a^{'}}_{l 2} & \dots & {a^{'}}_{l m} \end{matrix})$

$α B = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} α b_{11} & α b_{12} & \dots & α b_{1 n} α b_{21} & α b_{22} & \dots & α b_{2 n} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ α b_{m 1} & α b_{m 2} & \dots & α b_{m n} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $α B = (\begin{matrix} α b_{11} & α b_{12} & \dots & α b_{1 n} \\ α b_{21} & α b_{22} & \dots & α b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α b_{m 1} & α b_{m 2} & \dots & α b_{m n} \end{matrix})$ $= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} {b^{'}}_{11}^{'} & {b^{'}}_{12}^{'} & \dots & {b^{'}}_{1 n}^{'} {b^{'}}_{21}^{'} & {b^{'}}_{22}^{'} & \dots & {b^{'}}_{2 n}^{'} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ {b^{'}}_{m 1}^{'} & {b^{'}}_{m 2}^{'} & \dots & {b^{'}}_{m n}^{'} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $= (\begin{matrix} {b^{'}}_{11} & {b^{'}}_{12} & \dots & {b^{'}}_{1 n} \\ {b^{'}}_{21} & {b^{'}}_{22} & \dots & {b^{'}}_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {b^{'}}_{m 1} & {b^{'}}_{m 2} & \dots & {b^{'}}_{m n} \end{matrix})$

とする．(行列のスカラー倍を参照)

$(α A) B = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} {a^{'}}_{11}^{'} & {a^{'}}_{12}^{'} & \dots & {a^{'}}_{1 m}^{'} {a^{'}}_{21}^{'} & {a^{'}}_{22}^{'} & \dots & {a^{'}}_{2 m}^{'} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ {a^{'}}_{l 1}^{'} & {a^{'}}_{l 2}^{'} & \dots & {a^{'}}_{l m}^{'} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $(α A) B = (\begin{matrix} {a^{'}}_{11} & {a^{'}}_{12} & \dots & {a^{'}}_{1 m} \\ {a^{'}}_{21} & {a^{'}}_{22} & \dots & {a^{'}}_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {a^{'}}_{l 1} & {a^{'}}_{l 2} & \dots & {a^{'}}_{l m} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix})$

$(α A) B$ $(α A) B$ の $(i, j)$ $(i, j)$ 成分 $c_{i j}$ $c_{i j}$ は，行列の積の定義より

$c_{i j} = m \sum k = 1 {a^{'}}_{i k}^{'} b_{k j} = m \sum k = 1 (α a_{i k}) b_{k j}$ $c_{i j} = \sum_{k = 1}^{m} {a^{'}}_{i k} b_{k j} = \sum_{k = 1}^{m} (α a_{i k}) b_{k j}$ $= α m \sum k = 1 a_{i k} b_{k j}$ $= α \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} b_{k j}$ ……(1)

$α (A B)$ $α (A B)$ の $(i, j)$ $(i, j)$ 成分 $d_{i j}$ $d_{i j}$ は，行列の積の定義より

$d_{i j} = α m \sum k = 1 a_{i k} b_{k j}$ $d_{i j} = α \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} b_{k j}$ ……(2)

$A (α B) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l m} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ \begin{matrix} {b^{'}}_{11}^{'} & {b^{'}}_{12}^{'} & \dots & {b^{'}}_{1 n}^{'} {b^{'}}_{21}^{'} & {b^{'}}_{22}^{'} & \dots & {b^{'}}_{2 n}^{'} ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ {b^{'}}_{m 1}^{'} & {b^{'}}_{m 2}^{'} & \dots & {b^{'}}_{m n}^{'} \end{matrix} ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠$ $A (α B) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l m} \end{matrix}) (\begin{matrix} {b^{'}}_{11} & {b^{'}}_{12} & \dots & {b^{'}}_{1 n} \\ {b^{'}}_{21} & {b^{'}}_{22} & \dots & {b^{'}}_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ {b^{'}}_{m 1} & {b^{'}}_{m 2} & \dots & {b^{'}}_{m n} \end{matrix})$

$A (α B)$ $A (α B)$ の $(i, j)$ $(i, j)$ 成分 $e_{i j}$ $e_{i j}$ は，行列の積の定義より

$e_{i j} = m \sum k = 1 a_{i k} {b^{'}}_{k j}^{'} = m \sum k = 1 a_{i k} (α b_{k j})$ $e_{i j} = \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} {b^{'}}_{k j} = \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} (α b_{k j})$ $= α m \sum k = 1 a_{i k} b_{k j}$ $= α \sum_{k = 1}^{m} a_{i k} b_{k j}$ ……(3)

$(1)$ $(1)$ ， $(2)$ $(2)$ ， $(3)$ $(3)$ より

$c_{i j} = d_{i j} = e_{i j}$ $c_{i j} = d_{i j} = e_{i j}$

となり

$(α A) B = α (A B) = A (α B)$ $(α A) B = α (A B) = A (α B)$

が成り立つ．

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最終更新日： 2022年8月27日

行列の計算則 積について(1)

■証明

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行列の計算則積について(1)