行列の計算則   分配則について(1)

${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle l\times m}$ 行列， ${\displaystyle B}$と${\displaystyle C}$ が ${\displaystyle m\times n}$行列ならば

${\displaystyle A\left(B+C\right)=AB+AC}$

■証明

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{l1}& a_{l2}& \cdots & a_{lm}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle C=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ c_{m1}& c_{m2}& \cdots & c_{mn}\end{array}\right)}$

とし，

${\displaystyle B+C=D=\left(d_{ij}\right)}$ ，${\displaystyle d_{ij}=b_{ij}+c_{ij}}$

とする．

${\displaystyle A\left(B+C\right)}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分${\displaystyle e_{ij}}$ は，行列の積の定義より

${\displaystyle e_{ij}}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}{d}_{kj}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}\left(b_{kj}+c_{kj}\right)}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m\left(a_{ik}{b}_{kj}+a_{ik}{c}_{kj}\right)}}$

${\displaystyle ={\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}{b}_{kj}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}{c}_{kj}}}}$

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}{b}_{kj}}}$ は${\displaystyle AB}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$ 成分，${\displaystyle {\displaystyle \sum _{k=1}^m{a}_{ik}{c}_{kj}}}$ は${\displaystyle AC}$ の${\displaystyle \left(i,j\right)}$成分である．

したがって，行列の和の定義より

${\displaystyle A\left(B+C\right)=AB+AC}$

が成り立つ．

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最終更新日： 2022年8月27日