行列の計算則分配則について(2)

$A$ $A$ と $B$ $B$ が $l \times m$ $l \times m$ 行列， $C$ $C$ が $m \times n$ $m \times n$ 行列ならば

$(A + B) C = A C + B C$ $(A + B) C = A C + B C$

■証明

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{l 1} & a_{l 2} & \dots & a_{l m} \end{matrix})$ ， $B = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 m} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{l 1} & b_{l 2} & \dots & b_{l m} \end{matrix})$ ， $C = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m n} \end{matrix})$

とし，

$A + B = D = (d_{i j})$ ， $d_{i j} = a_{i j} + b_{i j}$

とする．

$(A + B) C$ の $(i, j)$ 成分 $e_{i j}$ は，行列の積の定義より

$e_{i j}$ $= \sum_{k = 1}^{m} d_{k j} c_{i k}$

$= \sum_{k = 1}^{m} (a_{k j} + b_{k j}) c_{i k}$

$= \sum_{k = 1}^{m} (a_{k j} c_{i k} + b_{k j} c_{i k})$

$= \sum_{k = 1}^{m} a_{k j} c_{i k} + \sum_{k = 1}^{m} b_{k j} c_{i k}$

となる．

$\sum_{k = 1}^{m} a_{k j} c_{i k}$ は $A C$ の $(i, j)$ 成分， $\sum_{k = 1}^{m} b_{k j} c_{i k}$ は $B C$ の $(i, j)$ 成分である．

したがって，行列の和の定義より

$(A + B) C = A C + B C$

が成り立つ．

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最終更新日： 2022年8月27日

行列の計算則 分配則について(2)

■証明

行列の計算則分配則について(2)